13 Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ números naturales distintos menores o iguales a $p.$ Demuestre que para cada número natural $r$ menor o igual a $p,$ existen dos números (posiblemente iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\] Amir

2 Dado un triángulo no isósceles $ABC$, sean $D, E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. El círculo $BCF$ y la recta $BE$ se cortan de nuevo en $P$, y el círculo $ABE$ y la recta $AD$ se cortan de nuevo en $Q$. Finalmente, las rectas $DP$ y $FQ$ se cortan en $R$. Demuestre que el baricentro $G$ del triángulo $ABC$ se encuentra en el círculo $PQR$. (Reino Unido) David Monk

10 ¿Cuál de los números $1, 2, \ldots , 1983$ tiene la mayor cantidad de divisores? Amir

Los números naturales $1, 2, 3, \dots, 100$ están contenidos en la unión de $N$ progresiones geométricas (no necesariamente con razones enteras). Demuestre que $N \ge 31$.

7 Varios números racionales fueron escritos en la pizarra. Dima anotó sus partes fraccionarias en un papel. Luego, todos los números en la pizarra fueron elevados al cuadrado, y Dima anotó en otro papel las partes fraccionarias de los números resultantes. Resultó que en los papeles de Dima estaban escritos los mismos conjuntos de números (quizás en un orden diferente). Demuestre que los números originales en la pizarra eran enteros. (La parte fraccionaria de un número $x$ es aquel número $\{x\}$, $0 \le \{x\} < 1$, tal que $x-\{x\}$ es un entero).

3 Considere un triángulo $ABC$ con alturas $AD$, $BE$ y $CF$, y ortocentro $H$. Sea la recta perpendicular desde $H$ a $EF$ que interseca a $EF$, $AB$ y $AC$ en $P$, $T$ y $L$, respectivamente. El punto $K$ se encuentra en el lado $BC$ tal que $BD=KC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $H$ y $P$, que es tangente a $AH$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $ATL$ y $\omega$ son tangentes, y que $KH$ pasa por el punto de tangencia.

3 Sea $ABC$ un triángulo isósceles acutángulo ($AB=BC$) inscrito en un círculo con centro $O$. La recta que pasa por el punto medio de la cuerda $AB$ y el punto $O$ corta a la recta $AC$ en $L$ y al círculo en el punto $P$. Sea la bisectriz del ángulo $BAC$ que corta al círculo en el punto $K$. Las rectas $AB$ y $PK$ se cortan en el punto $D$. Demuestre que los puntos $L, B, D$ y $P$ yacen sobre el mismo círculo.

1 Considere las sucesiones $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ de enteros no negativos definidas seleccionando cualesquiera $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ (no todos 0) y para cada $n$ $\geq$ 3 definiendo $a_n$ = | $a_{n-1}$ - $a_{n-3}$ |. 1-En el caso particular en que $a_0$ = 1 , $a_1$ = 3 y $a_2$ = 2, calcule el inicio de la sucesión, listando $a_0$ , $a_1$ , $\cdots$ , $a_{19}$ , $a_{20}$. 2-Demuestre que para cada sucesión, existe una constante $c$ tal que $a_i$ $\leq$ $c$ para todo $i$ $\geq$ 0. Note que la constante $c$ puede depender de los números $a_0$ , $a_1$ y $a_2$. 3-Demuestre que, para cada elección de $a_0$ , $a_1$ y $a_2$, la sucesión resultante es eventualmente periódica. 4-Demuestre que la longitud mínima $p$ del periodo descrito en (3) es la misma para todos los valores iniciales permitidos $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ de la sucesión.

3 Cada entero positivo está coloreado de rojo o azul. Una función $f$ del conjunto de los enteros positivos en sí mismo tiene las siguientes dos propiedades: (a) si $x\le y$, entonces $f(x)\le f(y)$; y (b) si $x, y$ y $z$ son enteros positivos (no necesariamente distintos) del mismo color y $x+y=z$, entonces $f(x)+f(y)=f(z)$. Demuestre que existe un número positivo $a$ tal que $f(x)\le ax$ para todo entero positivo $x$. (Reino Unido) Ben Elliott

2 Diecisiete ciudades son atendidas por cuatro aerolíneas. Se observa que existe servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos ciudades y que todos los itinerarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes. Amir