9 Considere el conjunto de todas las sucesiones estrictamente decrecientes de $n$ números naturales que tienen la propiedad de que en cada sucesión ningún término divide a ningún otro término de la misma. Sean $A = (a_j)$ y $B = (b_j)$ dos sucesiones cualesquiera de este tipo. Decimos que $A$ precede a $B$ si para algún $k$, $a_k < b_k$ y $a_i = b_i$ para $i < k$. Encuentre los términos de la primera sucesión del conjunto bajo este orden. Amir

6 Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $\mathcal{E}$ el conjunto de todos los puntos contenidos en los tres segmentos $AB$, $BC$ y $CA$ (incluyendo $A$, $B$ y $C$). Determine si, para toda partición de $\mathcal{E}$ en dos subconjuntos disjuntos, al menos uno de los dos subconjuntos contiene los vértices de un triángulo rectángulo.

7 Encuentre todos los números $x \in \mathbb Z$ para los cuales el número \[x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\] es un cuadrado perfecto. Amir

5 Considere el conjunto $\mathbb Q^2$ de puntos en $\mathbb R^2$, cuyas dos coordenadas son racionales. (a) Demuestre que la unión de segmentos con vértices en $\mathbb Q^2$ es el conjunto $\mathbb R^2$ completo. (b) ¿Es la envolvente convexa de $\mathbb Q^2$ (es decir, el conjunto convexo más pequeño en $\mathbb R^2$ que contiene a $\mathbb Q^2$) igual a $\mathbb R^2$? Amir

8 ¿Pueden tres personas, que disponen de una motocicleta biplaza, recorrer una distancia de $70$ km en $3$ horas? La velocidad del peatón es de $5$ km/h y la velocidad de la motocicleta es de $50$ km/h.

6 En el lado $AB$ de un triángulo isósceles $ABC$ ($AC=BC$) se encuentran los puntos $P$ y $Q$ tales que $\angle PCQ \le \frac{1}{2} \angle ACB$. Demuestre que $PQ \le \frac{1}{2} AB$.

5 Igual que en Seniors

16 ajedrecistas celebraron un torneo entre ellos: cada dos ajedrecistas jugaron exactamente una partida. Por la victoria en la partida se otorgaba 1 punto, por un empate 0.5 puntos, por la derrota 0 puntos. Resultó que exactamente 15 ajedrecistas compartieron el primer lugar. ¿Cuántos puntos pudo haber obtenido el decimosexto ajedrecista?

4 Sea $\mathbb{Z}^+$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow\mathbb{Z}^+$ tales que se cumplen ambas condiciones siguientes: (i) $f(n!)=f(n)!$ para todo entero positivo $n$, (ii) $m-n$ divide a $f(m)-f(n)$ siempre que $m$ y $n$ sean enteros positivos distintos.

2 Demuestre que \[\sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)} \geq 4(xy+yz+zx),\] para todos los números reales positivos $x,y$ y $z$.