1 Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula de $n \times n$ hay $n^2$ cuadrados unitarios y en estos coloreamos los lados de azul de tal manera que cada cuadrado unitario tenga exactamente un lado azul. a) Encuentre el número máximo de lados unitarios azules que podemos tener en la cuadrícula de $n \times n$. b) Encuentre el número mínimo de lados unitarios azules que podemos tener en la cuadrícula de $n \times n$.

8 Sobre los lados del triángulo $ABC$, se construyen tres triángulos isósceles semejantes $ABP \ (AP = PB)$, $AQC \ (AQ = QC)$ y $BRC \ (BR = RC)$. Los dos primeros se construyen externamente al triángulo $ABC$, pero el tercero se coloca en el mismo semiplano determinado por la recta $BC$ que el triángulo $ABC$. Demuestre que $APRQ$ es un paralelogramo. Amir

8.5 Demuestre que cada entero $n\ge3$ puede escribirse como una suma de algunos números naturales consecutivos si y solo si no es una potencia de 2

11.2 Sean $a$ y $b$ dos números reales. Encuentre estos números dado que las gráficas de $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} , f(x)=2x^4-a^2x^2+b-1$ y $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ,g(x)=2ax^3-1$ tienen exactamente dos puntos de intersección.

1 Antes de irse de vacaciones, cada uno de los $7$ alumnos decidió enviar una postal a cada uno de sus $3$ compañeros de clase. ¿Es posible que cada estudiante reciba postales únicamente de los compañeros a quienes él les ha enviado postales?

7.4 Sea el triángulo $ABC$ con $AB = 10$ cm y $\angle C= 15^o$, recto en $B$. El punto $D \in (AC)$ es el pie de la altura trazada desde $B$. Encuentre la distancia del punto $D$ a la recta $AB$.

4 La altura $AH$ y la bisectriz $CL$ del triángulo $ABC$ se cortan en el punto $O$. Encuentre el ángulo $BAC$, si se sabe que la diferencia entre el ángulo $COH$ y la mitad del ángulo $ABC$ es $46^\circ$.

6 Resuelva en enteros el sistema de ecuaciones: $$x^2-y^2=z$$ $$3xy+(x-y)z=z^2$$

Los números naturales $1, 2, 3, \dots, 100$ están contenidos en la unión de $N$ progresiones geométricas (no necesariamente con razones enteras). Demuestre que $N \ge 31$.

1 Se sabe que en un conjunto de cinco monedas, tres son auténticas (y tienen el mismo peso), mientras que dos monedas son falsas, cada una de las cuales tiene un peso diferente al de una moneda auténtica. ¿Cuál es el número mínimo de pesadas en una balanza de dos platillos que se necesita para localizar una moneda auténtica?