5 Considere el conjunto $\mathbb Q^2$ de puntos en $\mathbb R^2$, cuyas dos coordenadas son racionales. (a) Demuestre que la unión de segmentos con vértices en $\mathbb Q^2$ es el conjunto $\mathbb R^2$ completo. (b) ¿Es la envolvente convexa de $\mathbb Q^2$ (es decir, el conjunto convexo más pequeño en $\mathbb R^2$ que contiene a $\mathbb Q^2$) igual a $\mathbb R^2$? Amir

3 Considere el triángulo acutángulo $ABC$. Sea $X$ un punto en el lado $BC$, y $Y$ un punto en el lado $CA$. El círculo $k_1$ con diámetro $AX$ corta a $AC$ nuevamente en $E'$. El círculo $k_2$ con diámetro $BY$ corta a $BC$ nuevamente en $B'$. (i) Sea $M$ el punto medio de $XY$. Demuestre que $A'M = B'M$. (ii) Suponga que $k_1$ y $k_2$ se cortan en $P$ y $Q$. Demuestre que el ortocentro de $ABC$ yace sobre la recta $PQ$.

2 Dado un triángulo no isósceles $ABC$, sean $D, E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. El círculo $BCF$ y la recta $BE$ se cortan de nuevo en $P$, y el círculo $ABE$ y la recta $AD$ se cortan de nuevo en $Q$. Finalmente, las rectas $DP$ y $FQ$ se cortan en $R$. Demuestre que el baricentro $G$ del triángulo $ABC$ se encuentra en el círculo $PQR$. (Reino Unido) David Monk

15 Encuentre todas las sucesiones finitas posibles $\{n_0, n_1, n_2, \ldots, n_k \}$ de enteros tales que para cada $i$, $i$ aparece en la sucesión $n_i$ veces $(0 \leq i \leq k).$ Amir

4 Sea $a_1=2$ y, para todo entero positivo $n$, sea $a_{n+1}$ el entero más pequeño estrictamente mayor que $a_n$ que tiene más divisores positivos que $a_n$. Demuestre que $2a_{n+1}=3a_n$ solo para un número finito de índices $n$. Propuesto por Ilija Jovčevski, Macedonia del Norte

10 ¿Cuál de los números $1, 2, \ldots , 1983$ tiene la mayor cantidad de divisores? Amir

1 Encuentre todos los enteros positivos $ x$ y $ y$ tales que $ 5^{x}-3^{y}= 16$ . N.T.TUAN

2 El número $328$ está escrito en la pizarra. Dos jugadores escriben alternadamente divisores positivos de $328$ en la pizarra, sujetos a las siguientes reglas: $\bullet$ No se puede escribir ningún divisor de un número escrito anteriormente. $\bullet$ El jugador que escribe $328$ pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora, el primer jugador o el segundo jugador?

16 ajedrecistas celebraron un torneo entre ellos: cada dos ajedrecistas jugaron exactamente una partida. Por la victoria en la partida se otorgaba 1 punto, por un empate 0.5 puntos, por la derrota 0 puntos. Resultó que exactamente 15 ajedrecistas compartieron el primer lugar. ¿Cuántos puntos pudo haber obtenido el decimosexto ajedrecista?

5 Resuelva en enteros positivos: $\frac{1}{x^2}+\frac{y}{xz}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{2013}$ .