2 Sean $ a,b,c\geq 0$ tales que $ a+b+c=1$ . Demuestre que: $ a^2+b^2+c^2\geq 4(ab+bc+ca)-1$

6 Sea $ABC$ un triángulo y sean $I$ y $O$ su incentro y su circuncentro, respectivamente. Sea $\omega_A$ el círculo que pasa por $B$ y $C$ que es tangente al incírculo del triángulo $ABC$; los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se cortan en un punto $A'$ distinto de $A$; los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestre que las rectas $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes en un punto sobre la recta $IO$. (Rusia) Fedor Ivlev

9.1 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=2005$. Encuentre el valor mínimo de la expresión: $$E=a^{2006}+b^{2006}+c^{2006}+\frac{(ab)^{2004}+(bc)^{2004}+(ca)^{2004}}{(abc)^{2004}}$$

2 El número $328$ está escrito en la pizarra. Dos jugadores escriben alternadamente divisores positivos de $328$ en la pizarra, sujetos a las siguientes reglas: $\bullet$ No se puede escribir ningún divisor de un número escrito anteriormente. $\bullet$ El jugador que escribe $328$ pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora, el primer jugador o el segundo jugador?

5 Dado un entero positivo $n\ge 3$, coloree cada celda de una cuadrícula de $n\times n$ con uno de $\lfloor (n+2)^2/3\rfloor$ colores, utilizando cada color al menos una vez. Demuestre que existe algún subarreglo rectangular de $1\times 3$ o $3\times 1$ cuyas tres celdas estén coloreadas con tres colores diferentes. (Rusia) Ilya Bogdanov, Grigory Chelnokov, Dmitry Khramtsov

5 Resuelva en enteros positivos: $\frac{1}{x^2}+\frac{y}{xz}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{2013}$ .

3 Considere el triángulo acutángulo $ABC$. Sea $X$ un punto en el lado $BC$, y $Y$ un punto en el lado $CA$. El círculo $k_1$ con diámetro $AX$ corta a $AC$ nuevamente en $E'$. El círculo $k_2$ con diámetro $BY$ corta a $BC$ nuevamente en $B'$. (i) Sea $M$ el punto medio de $XY$. Demuestre que $A'M = B'M$. (ii) Suponga que $k_1$ y $k_2$ se cortan en $P$ y $Q$. Demuestre que el ortocentro de $ABC$ yace sobre la recta $PQ$.

5 Considere el conjunto $\mathbb Q^2$ de puntos en $\mathbb R^2$, cuyas dos coordenadas son racionales. (a) Demuestre que la unión de segmentos con vértices en $\mathbb Q^2$ es el conjunto $\mathbb R^2$ completo. (b) ¿Es la envolvente convexa de $\mathbb Q^2$ (es decir, el conjunto convexo más pequeño en $\mathbb R^2$ que contiene a $\mathbb Q^2$) igual a $\mathbb R^2$? Amir

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $D$ el punto medio de $AC$, $E$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$, y $F$ el punto de intersección de $AB$ y $DE$. El punto $H$ se encuentra en el arco $BC$ de $\omega$ (el que no contiene a $A$) tal que $\angle BHE=\angle ABC$. Demuestre que $\angle BHF=90^\circ$.

2 Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $A$ corta a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ nuevamente en $C$ y $D$ respectivamente, de tal manera que $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. La tangente en $A$ a $\Gamma_2$ corta a $\Gamma_1$ nuevamente en $E$. Sea $F$ un punto en $\Gamma_2$ tal que $F$ y $A$ se encuentran en lados opuestos de $BD$, y $2\angle AFC=\angle ABC$. Demuestre que la tangente en $F$ a $\Gamma_2$, y las rectas $BD$ y $CE$ son concurrentes.