34 En un plano se dan n puntos $P_i \ (i = 1, 2, \ldots , n)$ y dos ángulos $\alpha$ y $\beta$. Sobre cada uno de los segmentos $P_iP_{i+1} \ (P_{n+1} = P_1)$ se construye un punto $Q_i$ tal que para todo $i$: (i) al moverse de $P_i$ a $P_{i+1}, Q_i$ se observa en el mismo lado de $P_iP_{i+1}$, (ii) $\angle P_{i+1}P_iQ_i = \alpha,$ (iii) $\angle P_iP_{i+1}Q_i = \beta.$ Además, sea $g$ una recta en el mismo plano con la propiedad de que todos los puntos $P_i,Q_i$ se encuentran en el mismo lado de $g$. Demuestre que \[\sum_{i=1}^n d(P_i, g)= \sum_{i=1}^n d(Q_i, g),\] donde $d(M,g)$ denota la distancia del punto $M$ a la recta $g.$ Amir

50 ¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales a $10^5$, tales que no haya tres de ellos que sean términos consecutivos de una progresión aritmética?

36 El conjunto $X$ tiene $1983$ elementos. Existe una familia de subconjuntos $\{S_1, S_2, \ldots , S_k \}$ tal que: (i) la unión de cualesquiera tres de estos subconjuntos es el conjunto $X$ completo, mientras que (ii) la unión de cualesquiera dos de ellos contiene a lo sumo $1979$ elementos. ¿Cuál es el mayor valor posible de $k$? Amir

46 Sea $f$ una función de valores reales definida en $I = (0,+\infty)$ y que no tiene ceros en $I$. Suponga que \[\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}=+\infty.\] Para la sucesión $u_n = \ln \left| \frac{f(n+1)}{f(n)} \right|$, demuestre que $u_n \to +\infty$ cuando $n \to +\infty$. Amir

68 Tres de las raíces de la ecuación $x^4 -px^3 +qx^2 -rx+s = 0$ son $\tan A, \tan B$ y $\tan C$, donde $A, B$ y $C$ son ángulos de un triángulo. Determine la cuarta raíz como una función solo de $p, q, r$ y $s.$ Amir

57 En el sistema de base $n^2 + 1$ encuentre un número $N$ con $n$ dígitos diferentes tal que: (i) $N$ sea un múltiplo de $n$. Sea $N = nN'$. (ii) El número $N$ y $N'$ tengan el mismo número $n$ de dígitos diferentes en base $n^2 + 1$, ninguno de los cuales sea cero. (iii) Si $s(C)$ denota el número en base $n^2 + 1$ obtenido al aplicar la permutación $s$ a los $n$ dígitos del número $C$, entonces para cada permutación $s$, $s(N) = ns(N')$. Amir

48 Demuestre que en cualquier paralelepípedo la suma de las longitudes de las aristas es menor o igual al doble de la suma de las longitudes de las cuatro diagonales. Amir

2 Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ círculos en el plano. Cada dos de ellos se cortan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres círculos que tengan un punto en común). Cada punto de intersección debe ser coloreado con uno de $n$ colores distintos de modo que cada color se utilice al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada círculo. Encuentre todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible. Propuesto por Horst Sewerin, Alemania darij

1 Considere un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ el pie de la altura del triángulo $ABC$ que parte del vértice $A$, y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Suponga que $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$. Demuestre que $\angle A+\angle COP < 90^{\circ}$.

1 Las localidades $P_1, P_2, \dots, P_{1983}$ son atendidas por diez aerolíneas internacionales $A_1, A_2, \dots, A_{10}$. Se observa que existe servicio directo (sin escalas) entre cualquiera de estas dos localidades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes. Amir