19 Sea $a$ un entero positivo y sea $\{a_n\}$ una sucesión definida por $a_0 = 0$ y \[a_{n+1 }= (a_n + 1)a + (a + 1)a_n + 2 \sqrt{a(a + 1)a_n(a_n + 1)} \qquad (n = 1, 2 ,\dots ).\] Demuestre que para cada entero positivo $n$, $a_n$ es un entero positivo. Amir

24 Todo $x$, $0 \leq x \leq 1$, admite una representación única $x = \sum_{j=0}^{\infty} a_j 2^{-j}$, donde todos los $a_j$ pertenecen a $\{0, 1\}$ e infinitos de ellos son $0$. Si $b(0) = \frac{1+c}{2+c}$, $b(1) =\frac{1}{2+c}$, $c > 0$, y \[f(x)=a_0 + \sum_{j=0}^{\infty}b(a_0) \cdots b(a_j) a_{j+1}\] demuestre que $0 < f(x) -x < c$ para todo $x$, $0 < x < 1$. Amir

3 Se permite la siguiente operación en un grafo finito: elija un ciclo arbitrario de longitud 4 (si existe alguno), elija una arista arbitraria en dicho ciclo y elimínela del grafo. Para un entero fijo ${n\ge 4}$, encuentre el número mínimo de aristas de un grafo que puede obtenerse mediante aplicaciones repetidas de esta operación a partir del grafo completo de $n$ vértices (donde cada par de vértices está unido por una arista). Propuesto por Norman Do, Australia

1 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con $2m+1$ estudiantes ($m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentre todos los valores posibles de $k$. Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

40 Las cuatro caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos congruentes cuyos ángulos forman una progresión aritmética. Si las longitudes de los lados de los triángulos son $a < b < c$, determine el radio de la esfera circunscrita al tetraedro como una función de $a, b$ y $c$. ¿Cuál es la razón $c/a$ si $R = a$? Amir

56 Considere el desarrollo \[(1 + x + x^2 + x^3 + x^4)^{496} = a_0 + a_1x + \cdots + a_{1984}x^{1984}.\] (a) Determine el máximo común divisor de los coeficientes $a_3, a_8, a_{13}, \ldots , a_{1983}.$ (b) Demuestre que $10^{340 }< a_{992} < 10^{347}.$ Amir

18 Sea $b \geq 2$ un entero positivo. (a) Demuestre que para que un entero $N$, escrito en base $b$, sea igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos, es necesario que $N = 1$ o que $N$ tenga solo dos dígitos. (b) Dé una lista completa de todos los enteros que no exceden $50$ que, con respecto a alguna base $b$, son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos. (c) Demuestre que para cualquier base $b$, el número de enteros de dos dígitos que son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos es par. (d) Demuestre que para cualquier base impar $b$ existe un entero distinto de $1$ que es igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos. Amir

29 Sea $O$ un punto fuera de un círculo dado. Dos rectas $OAB$ y $OCD$ que pasan por $O$ cortan al círculo en $A, B, C, D$, donde $A$ y $C$ son los puntos medios de $OB$ y $OD$, respectivamente. Adicionalmente, el ángulo agudo $\theta$ entre las rectas es igual al ángulo agudo con el que cada recta corta al círculo. Encuentre $\cos \theta$ y demuestre que las tangentes al círculo en $A$ y $D$ se cortan sobre la recta $BC$.

38 Sea $\{u_n \}$ la sucesión definida por sus dos primeros términos $u_0, u_1$ y la fórmula de recurrencia \[u_{n+2 }= u_n - u_{n+1}.\] (a) Demuestre que $u_n$ puede escribirse de la forma $u_n = \alpha a^n + \beta b^n$ , donde $a, b, \alpha, \beta$ son constantes independientes de $n$ que deben ser determinadas. (b) Si $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ , demuestre que $S_n + u_{n-1}$ es una constante independiente de $n.$ Determine esta constante. Amir

37 Los puntos $A_1,A_2, \ldots , A_{1983}$ están situados en la circunferencia de un círculo y a cada uno se le asigna uno de los valores $\pm 1$. Demuestre que si el número de puntos con el valor $+1$ es mayor que $1789$, entonces al menos $1207$ de los puntos tendrán la propiedad de que las sumas parciales que pueden formarse tomando los números desde ellos hasta cualquier otro punto, en cualquier dirección, son estrictamente positivas. Amir