72 Demuestre que para todo $x_1, x_2,\ldots , x_n \in \mathbb R$ se cumple la siguiente desigualdad: \[\sum_{n \geq i >j \geq 1} \cos^2(x_i - x_j ) \geq \frac{n(n-2)}{4}\] Amir

39 Si $\alpha $ es la raíz real de la ecuación \[E(x) = x^3 - 5x -50 = 0\] tal que $x_{n+1} = (5x_n + 50)^{1/3}$ y $x_1 = 5$, donde $n$ es un entero positivo, demuestre que: (a) $x_{n+1}^3 - \alpha^3 = 5(x_n - \alpha)$ (b) $\alpha < x_{n+1} < x_n.$ Amir

42 Considere el cuadrado $ABCD$ en el cual se traza un segmento entre cada vértice y los puntos medios de ambos lados opuestos. Encuentre la razón entre el área del octágono determinado por estos segmentos y el área del cuadrado $ABCD.$ Amir

41 Sea $E$ el conjunto de $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$). Una coloración de $E$ es una aplicación de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ existen que satisfagan la siguiente propiedad: el número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$? Amir

70 Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demuestre que $d_n$ es aperiódico; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0, d_{n+T} = d_n$. Amir

74 En un plano se dan dos puntos distintos $A,B$ y dos rectas $a, b$ que pasan por $B$ y $A$ respectivamente $(a \ni B, b \ni A)$ tales que la recta $AB$ está igualmente inclinada respecto a $a$ y $b$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano tales que el producto de las distancias de $M$ a $A$ y a $a$ sea igual al producto de las distancias de $M$ a $B$ y a $b$ (es decir, $MA \cdot MA' = MB \cdot MB'$, donde $A'$ y $B'$ son los pies de las perpendiculares desde $M$ a $a$ y $b$ respectivamente). Amir

43 Dado un cuadrado $ABCD$, sean $P, Q, R$ y $S$ cuatro puntos variables sobre los lados $AB, BC, CD$ y $DA$, respectivamente. Determine las posiciones de los puntos $P, Q, R$ y $S$ para las cuales el cuadrilátero $PQRS$ es un paralelogramo, un rectángulo, un cuadrado o un trapecio. Amir

69 Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demuestre que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

47 En un plano, se dan tres círculos $C_1, C_2, C_3$ que se intersecan dos a dos, con centros $M_1, M_2, M_3$. Para $i = 1, 2, 3$, sea $A_i$ uno de los puntos de intersección de $C_j$ y $C_k \ (\{i, j, k \} = \{1, 2, 3 \})$. Demuestre que si $\angle M_3A_1M_2 = \angle M_1A_2M_3 = \angle M_2A_3M_1 = \frac{\pi}{3}$ (ángulos dirigidos), entonces $M_1A_1, M_2A_2$ y $M_3A_3$ son concurrentes. Amir

61 Sean $a$ y $b$ enteros. ¿Es posible encontrar enteros $p$ y $q$ tales que los enteros $p+na$ y $q+nb$ no tengan ningún factor primo común sin importar cómo se elija el entero $n$? Amir