2 Demuestre que para todos los números reales positivos $a,b,c$ , \[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

3 Veintiuna chicas y veintiún chicos participaron en una competición matemática. Resultó que cada concursante resolvió como máximo seis problemas, y para cada par formado por una chica y un chico, hubo al menos un problema que fue resuelto tanto por la chica como por el chico. Demuestre que existe un problema que fue resuelto por al menos tres chicas y al menos tres chicos.

66 Sean $ a$ , $ b$ y $ c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre que \[ a^{2}b(a - b) + b^{2}c(b - c) + c^{2}a(c - a)\ge 0. \] Determine cuándo ocurre la igualdad. ashwath.rabindranath

70 Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demuestre que $d_n$ es aperiódico; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0, d_{n+T} = d_n$. Amir

35 Sean $P_1, P_2, \dots , P_n$ puntos distintos del plano, $n \geq 2$. Demuestre que \[ \max_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j > \frac{\sqrt 3}{2}(\sqrt n -1) \min_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j \] Amir

67 La altura desde un vértice de un tetraedro dado se interseca con la cara opuesta en su ortocentro. Demuestre que las cuatro alturas del tetraedro son concurrentes. Amir

32 Sean $a, b, c$ números reales positivos y sea $[x]$ el mayor entero que no excede al número real $x$. Suponga que $f$ es una función definida sobre el conjunto de los enteros no negativos $n$ y que toma valores reales tal que $f(0) = 0$ y \[f(n) \leq an + f([bn]) + f([cn]), \qquad \text{ para todo } n \geq 1.\] Demuestre que si $b + c < 1$, existe un número real $k$ tal que \[f(n) \leq kn \qquad \text{ para todo } n \qquad (1)\] mientras que si $b + c = 1$, existe un número real $K$ tal que $f(n) \leq K n \log_2 n$ para todo $n \geq 2$. Demuestre que si $b + c = 1$, puede no existir un número real $k$ que satisfaga $(1).$ Amir

39 Si $\alpha $ es la raíz real de la ecuación \[E(x) = x^3 - 5x -50 = 0\] tal que $x_{n+1} = (5x_n + 50)^{1/3}$ y $x_1 = 5$, donde $n$ es un entero positivo, demuestre que: (a) $x_{n+1}^3 - \alpha^3 = 5(x_n - \alpha)$ (b) $\alpha < x_{n+1} < x_n.$ Amir

60 Encuentre el mayor entero menor o igual a $\sum_{k=1}^{2^{1983}} k^{\frac{1}{1983} -1}.$ Amir

43 Dado un cuadrado $ABCD$, sean $P, Q, R$ y $S$ cuatro puntos variables sobre los lados $AB, BC, CD$ y $DA$, respectivamente. Determine las posiciones de los puntos $P, Q, R$ y $S$ para las cuales el cuadrilátero $PQRS$ es un paralelogramo, un rectángulo, un cuadrado o un trapecio. Amir