72 Demuestre que para todo $x_1, x_2,\ldots , x_n \in \mathbb R$ se cumple la siguiente desigualdad: \[\sum_{n \geq i >j \geq 1} \cos^2(x_i - x_j ) \geq \frac{n(n-2)}{4}\] Amir

44 Se nos dan doce monedas, una de las cuales es falsa y tiene una masa diferente a las otras once. Determine esa moneda con tres pesadas y si es más pesada o más ligera que las otras. Amir

51 Decida si existe un conjunto $M$ de enteros positivos que satisfaga las siguientes condiciones: (i) Para cualquier número natural $m>1$ existen $a, b \in M$ tales que $a+b = m.$ (ii) Si $a, b, c, d \in M$ , $a, b, c, d > 10$ y $a + b = c + d$ , entonces $a = c$ o $a = d.$ Amir

71 Demuestre que toda partición del espacio tridimensional en tres subconjuntos disjuntos tiene la siguiente propiedad: uno de estos subconjuntos contiene todas las distancias posibles; es decir, para todo $a \in \mathbb R^+$, existen puntos $M$ y $N$ dentro de ese subconjunto tales que la distancia entre $M$ y $N$ es exactamente $a.$ Amir

54 Encuentre todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones con $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots \ x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado. Amir

63 Sea $n$ un entero positivo que tiene al menos dos factores primos distintos. Demuestre que existe una permutación $a_1, a_2, \dots , a_n$ de los enteros $1, 2, \dots , n$ tal que \[\sum_{k=1}^{n} k \cdot \cos \frac{2 \pi a_k}{n}=0.\] Amir

46 Sea $f$ una función de valores reales definida en $I = (0,+\infty)$ y que no tiene ceros en $I$. Suponga que \[\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}=+\infty.\] Para la sucesión $u_n = \ln \left| \frac{f(n+1)}{f(n)} \right|$, demuestre que $u_n \to +\infty$ cuando $n \to +\infty$. Amir

62 Sea $\gamma$ un círculo y sea $AB$ un diámetro. El punto $C$ en $\gamma$ es el punto medio del segmento de recta $BD$. Los segmentos de recta $AC$ y $DO$, donde $O$ es el centro de $\gamma$, se intersecan en $P$. Demuestre que existe un punto $E$ en $AB$ tal que $P$ está en el círculo con diámetro $AE$. Amir

39 Si $\alpha $ es la raíz real de la ecuación \[E(x) = x^3 - 5x -50 = 0\] tal que $x_{n+1} = (5x_n + 50)^{1/3}$ y $x_1 = 5$, donde $n$ es un entero positivo, demuestre que: (a) $x_{n+1}^3 - \alpha^3 = 5(x_n - \alpha)$ (b) $\alpha < x_{n+1} < x_n.$ Amir

67 La altura desde un vértice de un tetraedro dado se interseca con la cara opuesta en su ortocentro. Demuestre que las cuatro alturas del tetraedro son concurrentes. Amir