43 Dado un cuadrado $ABCD$, sean $P, Q, R$ y $S$ cuatro puntos variables sobre los lados $AB, BC, CD$ y $DA$, respectivamente. Determine las posiciones de los puntos $P, Q, R$ y $S$ para las cuales el cuadrilátero $PQRS$ es un paralelogramo, un rectángulo, un cuadrado o un trapecio. Amir

2 Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ círculos en el plano. Cada dos de ellos se cortan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres círculos que tengan un punto en común). Cada punto de intersección debe ser coloreado con uno de $n$ colores distintos de modo que cada color se utilice al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada círculo. Encuentre todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible. Propuesto por Horst Sewerin, Alemania darij

65 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en un punto $P$. Demuestre que \[\frac{AP}{PC}=\frac{\cot \angle BAC + \cot \angle DAC}{\cot \angle BCA + \cot \angle DCA}\] Amir

36 El conjunto $X$ tiene $1983$ elementos. Existe una familia de subconjuntos $\{S_1, S_2, \ldots , S_k \}$ tal que: (i) la unión de cualesquiera tres de estos subconjuntos es el conjunto $X$ completo, mientras que (ii) la unión de cualesquiera dos de ellos contiene a lo sumo $1979$ elementos. ¿Cuál es el mayor valor posible de $k$? Amir

41 Sea $E$ el conjunto de $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$). Una coloración de $E$ es una aplicación de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ existen que satisfagan la siguiente propiedad: el número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$? Amir

28 Demuestre que si los lados $a, b, c$ de un triángulo satisfacen la ecuación \[2(ab^2 + bc^2 + ca^2) = a^2b + b^2c + c^2a + 3abc,\] entonces el triángulo es equilátero. Demuestre también que la ecuación puede ser satisfecha por números reales positivos que no son los lados de un triángulo. Amir

75 Encuentre la suma de las quincuagésimas potencias de todos los lados y diagonales de un polígono regular de $100$ lados inscrito en un círculo de radio $R.$ Amir

34 En un plano se dan n puntos $P_i \ (i = 1, 2, \ldots , n)$ y dos ángulos $\alpha$ y $\beta$. Sobre cada uno de los segmentos $P_iP_{i+1} \ (P_{n+1} = P_1)$ se construye un punto $Q_i$ tal que para todo $i$: (i) al moverse de $P_i$ a $P_{i+1}, Q_i$ se observa en el mismo lado de $P_iP_{i+1}$, (ii) $\angle P_{i+1}P_iQ_i = \alpha,$ (iii) $\angle P_iP_{i+1}Q_i = \beta.$ Además, sea $g$ una recta en el mismo plano con la propiedad de que todos los puntos $P_i,Q_i$ se encuentran en el mismo lado de $g$. Demuestre que \[\sum_{i=1}^n d(P_i, g)= \sum_{i=1}^n d(Q_i, g),\] donde $d(M,g)$ denota la distancia del punto $M$ a la recta $g.$ Amir

30 Demuestre la existencia de una única sucesión $\{u_n\} \ (n = 0, 1, 2 \ldots )$ de enteros positivos tal que \[u_n^2 = \sum_{r=0}^n \binom{n+r}{r} u_{n-r} \qquad \text{para todo } n \geq 0\] Amir

33 Sea $F(n)$ el conjunto de polinomios $P(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$, con $a_0, a_1, . . . , a_n \in \mathbb R$ y $0 \leq a_0 = a_n \leq a_1 = a_{n-1 } \leq \cdots \leq a_{[n/2] }= a_{[(n+1)/2]}.$ Demuestre que si $f \in F(m)$ y $g \in F(n)$, entonces $fg \in F(m + n).$ Amir