39 Si $\alpha $ es la raíz real de la ecuación \[E(x) = x^3 - 5x -50 = 0\] tal que $x_{n+1} = (5x_n + 50)^{1/3}$ y $x_1 = 5$, donde $n$ es un entero positivo, demuestre que: (a) $x_{n+1}^3 - \alpha^3 = 5(x_n - \alpha)$ (b) $\alpha < x_{n+1} < x_n.$ Amir

33 Sea $F(n)$ el conjunto de polinomios $P(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$, con $a_0, a_1, . . . , a_n \in \mathbb R$ y $0 \leq a_0 = a_n \leq a_1 = a_{n-1 } \leq \cdots \leq a_{[n/2] }= a_{[(n+1)/2]}.$ Demuestre que si $f \in F(m)$ y $g \in F(n)$, entonces $fg \in F(m + n).$ Amir

25 ¿Cuántas permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de $\{1, 2, \ldots, n \}$ se ordenan de forma creciente mediante a lo sumo tres repeticiones de la siguiente operación: recorrer de izquierda a derecha e intercambiar $a_i$ y $a_{i+1}$ siempre que $a_i > a_{i+1}$ para $i$ desde $1$ hasta $n - 1$? Amir

26 Sean $a, b, c$ enteros positivos que satisfacen $\gcd (a, b) = \gcd (b, c) = \gcd (c, a) = 1$. Demuestre que $2abc-ab-bc-ca$ no puede representarse como $bcx+cay +abz$ con enteros no negativos $x, y, z$. Amir

41 Sea $E$ el conjunto de $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$). Una coloración de $E$ es una aplicación de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ existen que satisfagan la siguiente propiedad: el número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$? Amir

34 En un plano se dan n puntos $P_i \ (i = 1, 2, \ldots , n)$ y dos ángulos $\alpha$ y $\beta$. Sobre cada uno de los segmentos $P_iP_{i+1} \ (P_{n+1} = P_1)$ se construye un punto $Q_i$ tal que para todo $i$: (i) al moverse de $P_i$ a $P_{i+1}, Q_i$ se observa en el mismo lado de $P_iP_{i+1}$, (ii) $\angle P_{i+1}P_iQ_i = \alpha,$ (iii) $\angle P_iP_{i+1}Q_i = \beta.$ Además, sea $g$ una recta en el mismo plano con la propiedad de que todos los puntos $P_i,Q_i$ se encuentran en el mismo lado de $g$. Demuestre que \[\sum_{i=1}^n d(P_i, g)= \sum_{i=1}^n d(Q_i, g),\] donde $d(M,g)$ denota la distancia del punto $M$ a la recta $g.$ Amir

31 Encuentre todas las funciones $f$ definidas sobre el conjunto de los números reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y$; y $f(x)\to0$ cuando $x\to\infty$.

75 Encuentre la suma de las quincuagésimas potencias de todos los lados y diagonales de un polígono regular de $100$ lados inscrito en un círculo de radio $R.$ Amir

4 Sea $n$ un entero impar mayor que 1 y sean $c_1, c_2, \ldots, c_n$ enteros. Para cada permutación $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de $\{1,2,\ldots,n\}$, defina $S(a) = \sum_{i=1}^n c_i a_i$. Demuestre que existen permutaciones $a \neq b$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ tales que $n!$ es un divisor de $S(a)-S(b)$.

42 Considere el cuadrado $ABCD$ en el cual se traza un segmento entre cada vértice y los puntos medios de ambos lados opuestos. Encuentre la razón entre el área del octágono determinado por estos segmentos y el área del cuadrado $ABCD.$ Amir