17 Demuestre que existe una coloración con cuatro colores del conjunto $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$ tal que ninguna progresión aritmética de $10$ términos en el conjunto $M$ sea monocromática. Formulación alternativa: Sea $M = \{1, 2, \cdots, 1987\}$. Demuestre que existe una función $f : M \to \{1, 2, 3, 4\}$ que no es constante en ningún conjunto de $10$ términos de $M$ que formen una progresión aritmética. Propuesto por Rumania Amir

11 Encuentre el número de particiones del conjunto $\{1, 2, \cdots, n\}$ en tres subconjuntos $A_1,A_2,A_3$, algunos de los cuales pueden ser vacíos, tales que se satisfagan las siguientes condiciones: $(i)$ Después de que los elementos de cada subconjunto hayan sido ordenados de forma ascendente, cada dos elementos consecutivos de cualquier subconjunto tienen paridad diferente. $(ii)$ Si $A_1,A_2,A_3$ son todos no vacíos, entonces en exactamente uno de ellos el número mínimo es par. Propuesto por Polonia. Amir

14 ¿Cuántas palabras de $n$ dígitos se pueden formar con el alfabeto $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, si los dígitos vecinos deben diferir exactamente en uno? Propuesto por Alemania, RF. Amir

18 Para cualquier entero $r \geq 1$, determine el entero más pequeño $h(r) \geq 1$ tal que para cualquier partición del conjunto $\{1, 2, \cdots, h(r)\}$ en $r$ clases, existan enteros $a \geq 0$ y $1 \leq x \leq y$ tales que $a + x$, $a + y$ y $a + x + y$ pertenezcan a la misma clase. Propuesto por Rumanía Amir

20 Sea $n\ge2$ un entero. Demuestre que si $k^2+k+n$ es primo para todo entero $k$ tal que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todo entero $k$ tal que $0\le k\le n-2$. (Problema 6 de la IMO) Formulación original: Sea $f(x) = x^2 + x + p$, $p \in \mathbb N$. Demuestre que si los números $f(0), f(1), \cdots , f(\sqrt{p\over 3} )$ son primos, entonces todos los números $f(0), f(1), \cdots , f(p - 2)$ son primos. Propuesto por la Unión Soviética. Amir

19 Sean $\alpha,\beta,\gamma$ números reales positivos tales que $\alpha+\beta+\gamma < \pi$ , $\alpha+\beta > \gamma$ , $ \beta+\gamma > \alpha$ , $\gamma + \alpha > \beta.$ Demuestre que con los segmentos de longitudes $\sin \alpha, \sin \beta, \sin \gamma $ se puede construir un triángulo y que su área no es mayor que \[A=\dfrac 18\left( \sin 2\alpha+\sin 2\beta+ \sin 2\gamma \right).\] Propuesto por la Unión Soviética, Amir

61 Sean $a$ y $b$ enteros. ¿Es posible encontrar enteros $p$ y $q$ tales que los enteros $p+na$ y $q+nb$ no tengan ningún factor primo común sin importar cómo se elija el entero $n$? Amir

53 Sea $a \in \mathbb R$ y sean $z_1, z_2, \ldots, z_n$ números complejos de módulo $1$ que satisfacen la relación \[\sum_{k=1}^n z_k^3=4(a+(a-n)i)- 3 \sum_{k=1}^n \overline{z_k}\] Demuestre que $a \in \{0, 1,\ldots, n \}$ y $z_k \in \{1, i \}$ para todo $k.$ Amir

21 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales es posible que un caballo, comenzando en una de las casillas de un tablero de ajedrez de $n \times n$, recorra cada una de las casillas exactamente una vez. Amir

35 Sean $P_1, P_2, \dots , P_n$ puntos distintos del plano, $n \geq 2$. Demuestre que \[ \max_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j > \frac{\sqrt 3}{2}(\sqrt n -1) \min_{1\leq i<j\leq n} P_iP_j \] Amir