4 Sea $P(n)$ un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$, el número $P(n)$ tiene un divisor propio $d_n$, es decir, $1<d_n<P(n)$, tal que la sucesión $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es creciente. Demuestre que $P(n)$ es el producto de dos polinomios lineales con coeficientes enteros o todos los valores de $P(n)$, para enteros positivos $n$, son divisibles por el mismo entero $m>1$.

2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos primos entre sí con $k<n$. Cada número en el conjunto $M=\{1,2,3,\ldots,n-1\}$ está coloreado de azul o de blanco. Para cada $i$ en $M$, tanto $i$ como $n-i$ tienen el mismo color. Para cada $i\ne k$ en $M$, tanto $i$ como $|i-k|$ tienen el mismo color. Demuestre que todos los números en $M$ deben tener el mismo color.

1 Cuatro hermanos tienen juntos cuarenta y ocho Kwanzas. Si el dinero del primer hermano aumentara en tres Kwanzas, si el dinero del segundo hermano disminuyera en tres Kwanzas, si el dinero del tercer hermano se triplicara y si el dinero del último hermano se redujera a un tercio, entonces todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada hermano?

1 Considere dos sucesiones infinitas $a_0,a_1,a_2,\dots$ y $b_0,b_1,b_2,\dots$ de números reales tales que $a_0=0$, $b_0=0$ y \[a_{k+1}=b_k, \quad b_{k+1}=\frac{a_kb_k+a_k+1}{b_k+1}\] para cada entero $k \ge 0$. Demuestre que $a_{2024}+b_{2024} \ge 88$.

3 Llamamos a un entero positivo $n{}$ peculiar si, para cualquier divisor positivo $d{}$ de $n{}$, el entero $d(d + 1)$ divide a $n(n + 1).$ Demuestre que para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A, B, C$ y $D{}$ se cumple lo siguiente: \[\gcd(A, B, C, D) = 1.\]

6 Encuentre todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que hay a lo sumo $d$ valores distintos entre $P(0),P(1),P(2),\cdots,P(d^2-d)$.

1 Sea $ABC$ un triángulo y sea $D$ un punto en el segmento $BC$, $D\neq B$ y $D\neq C$. El círculo $ABD$ corta al segmento $AC$ nuevamente en un punto interior $E$. El círculo $ACD$ corta al segmento $AB$ nuevamente en un punto interior $F$. Sea $A'$ la reflexión de $A$ en la recta $BC$. Las rectas $A'C$ y $DE$ se cortan en $P$, y las rectas $A'B$ y $DF$ se cortan en $Q$. Demuestre que las rectas $AD$, $BP$ y $CQ$ son concurrentes (o todas paralelas).

3 En un hexágono convexo $AC'BA'CB'$, cada dos lados opuestos son iguales. Sea $A_1$ el punto de intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$. Defina $B_1$ y $C_1$ de manera similar. Demuestre que $A_1$, $B_1$ y $C_1$ son colineales.

1 Un círculo tiene su centro en el lado $AB$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$. Los otros tres lados son tangentes al círculo. Demuestre que $AD+BC=AB$.

3 En un cuadrilátero convexo $ABCD$, $P$ y $Q$ son puntos en los lados $BC$ y $DC$ tales que $B\hat{A}P = D\hat{A}Q$. Si la recta que pasa por los ortocentros de $\triangle ABP$ y $\triangle ADQ$ es perpendicular a $AC$, demuestre que las áreas de estos triángulos son iguales.