4 Sea $P(n)$ un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$, el número $P(n)$ tiene un divisor propio $d_n$, es decir, $1<d_n<P(n)$, tal que la sucesión $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es creciente. Demuestre que $P(n)$ es el producto de dos polinomios lineales con coeficientes enteros o todos los valores de $P(n)$, para enteros positivos $n$, son divisibles por el mismo entero $m>1$.

5 Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e interseca los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en puntos distintos $K$ y $N$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (distinto de $B$). Demuestre que $\angle OMB=90^{\circ}$.

3 Llamamos a un entero positivo $n{}$ peculiar si, para cualquier divisor positivo $d{}$ de $n{}$, el entero $d(d + 1)$ divide a $n(n + 1).$ Demuestre que para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A, B, C$ y $D{}$ se cumple lo siguiente: \[\gcd(A, B, C, D) = 1.\]

2 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[yf(x+1)=f(x+y-f(x))+f(x)f(f(y))\] para todo $x,y \in \mathbb{R}$.

10 Sean $S_1$ y $S_2$ dos esferas con radios distintos que se tocan externamente. Las esferas se encuentran dentro de un cono $C$, y cada esfera toca al cono en un círculo completo. Dentro del cono hay $n$ esferas sólidas adicionales dispuestas en un anillo de tal manera que cada esfera sólida toca al cono $C$, a ambas esferas $S_1$ y $S_2$ externamente, así como a las dos esferas sólidas vecinas. ¿Cuáles son los valores posibles de $n$? Propuesto por Islandia. Amir

4 Una sucesión finita $x_1,\dots,x_r$ de enteros positivos es un palíndromo si $x_i=x_{r+1-i}$ para todo entero $1 \le i \le r$. Sea $a_1,a_2,\dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Para un entero positivo $j \ge 2$, denotamos por $a[j]$ la subsecuencia finita $a_1,a_2,\dots,a_{j-1}$. Suponga que existe una sucesión infinita estrictamente creciente $b_1,b_2,\dots$ de enteros positivos tal que para todo entero positivo $n$, la subsecuencia $a[b_n]$ es un palíndromo y $b_{n+2} \le b_{n+1}+b_n$. Demuestre que existe un entero positivo $T$ tal que $a_i=a_{i+T}$ para todo entero positivo $i$.

5 Encuentre todas las cuádruplas de enteros positivos $(k,a,b,c)$ tales que $2^k=a!+b!+c!$ y $a\geq b\geq c$.

4 Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos distintos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $23$, demuestre que $M$ contiene un subconjunto de $4$ elementos cuyo producto es la cuarta potencia de un entero.

3 Una $\textit{sucesión cúbica}$ es una sucesión de enteros dada por $a_n = n^3 + bn^2 + cn + d$, donde $b, c$ y $d$ son constantes enteras y $n$ recorre todos los enteros, incluyendo los enteros negativos. $\textbf{(a)}$ Demuestre que existe una sucesión cúbica tal que los únicos términos de la sucesión que son cuadrados de enteros son $a_{2015}$ y $a_{2016}$. $\textbf{(b)}$ Determine los posibles valores de $a_{2015} \cdot a_{2016}$ para una sucesión cúbica que satisface la condición en la parte $\textbf{(a)}$.

2 En una fiesta a la que asisten $n$ parejas casadas, cada persona habla con todos los demás en la fiesta, excepto con su cónyuge. Las conversaciones involucran conjuntos de personas o camarillas $C_1, C_2, \cdots, C_k$ con la siguiente propiedad: ninguna pareja es miembro de la misma camarilla, pero para cualquier otro par de personas existe exactamente una camarilla a la que ambos miembros pertenecen. Demuestre que si $n \geq 4$, entonces $k \geq 2n$. Propuesto por USA. Amir