21 En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta a $BC$ en $L$ y corta nuevamente al circuncírculo de $ABC$ en $N$. Desde $L$ se trazan perpendiculares a $AB$ y $AC$, con pies en $K$ y $M$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales. (Problema 2 de la IMO) Propuesto por la Unión Soviética. Amir

7 Defina la concatenación de enteros positivos como escribir sus representaciones en base diez uno tras otro e interpretar el resultado como la representación en base diez de un único entero positivo. Encuentre todos los enteros positivos $k$ para los cuales existe un entero $N_k$ con la siguiente propiedad: para todo $n \ge N_k$, podemos concatenar los números $1, 2, \dots, n$ en algún orden de modo que el resultado sea un número divisible por $k$. Observación: La representación en base diez de un entero positivo nunca comienza con cero. Ejemplo: Concatenar $15, 14, 7$ en este orden resulta en $15147$.

6 Kilua y Ndoti juegan el siguiente juego en un cuadrado $ABCD$: Kilua elige uno de los lados del cuadrado y dibuja un punto $X$ en este lado. Ndoti elige uno de los otros tres lados y dibuja un punto $Y$. Kilua elige otro lado que no haya sido elegido y dibuja un punto $Z$. Finalmente, Ndoti elige el último lado que aún no ha sido elegido y dibuja un punto $W$. Cada uno de los jugadores puede dibujar su punto en un vértice de $ABCD$, pero deben elegir el lado del cuadrado que se utilizará para hacerlo. Por ejemplo, si Kilua elige $AB$, puede dibujar $X$ en el punto $B$ y esto no impide que Ndoti elija $BC$. Un vértice no puede ser elegido dos veces. Kilua gana si el área del cuadrilátero convexo formado por $X$, $Y$, $Z$ y $W$ es mayor o igual a la mitad del área de $ABCD$. De lo contrario, gana Ndoti. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora? ¿Cómo puede jugar?

5 Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que las siguientes condiciones se cumplen para todo par de enteros positivos $(x, y)$: $(i)$: $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos. $(ii)$: Si $x \nmid y$ y $y \nmid x$, entonces: $$\gcd(f(x), f(y)) > f(\gcd(x, y))$$

1 Cuatro hermanos tienen juntos cuarenta y ocho Kwanzas. Si el dinero del primer hermano aumentara en tres Kwanzas, si el dinero del segundo hermano disminuyera en tres Kwanzas, si el dinero del tercer hermano se triplicara y si el dinero del último hermano se redujera a un tercio, entonces todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada hermano?

4 Sea $P(n)$ un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$, el número $P(n)$ tiene un divisor propio $d_n$, es decir, $1<d_n<P(n)$, tal que la sucesión $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es creciente. Demuestre que $P(n)$ es el producto de dos polinomios lineales con coeficientes enteros o todos los valores de $P(n)$, para enteros positivos $n$, son divisibles por el mismo entero $m>1$.

1 Dos enteros diferentes $u$ y $v$ están escritos en una pizarra. Realizamos una sucesión de pasos. En cada paso realizamos una de las siguientes dos operaciones: (i) Si $a$ y $b$ son enteros diferentes en la pizarra, entonces podemos escribir $a + b$ en la pizarra, si no está ya allí. (ii) Si $a$, $b$ y $c$ son tres enteros diferentes en la pizarra, y si un entero $x$ satisface $ax^2 +bx+c = 0$, entonces podemos escribir $x$ en la pizarra, si no está ya allí. Determine todos los pares de números iniciales $(u, v)$ a partir de los cuales cualquier entero puede eventualmente ser escrito en la pizarra después de una sucesión finita de pasos.

1 Cada número real mayor que 1 se colorea de rojo o azul, utilizándose ambos colores. Demuestre que existen números reales $a$ y $b$ tales que los números $a+\frac1b$ y $b+\frac1a$ son de colores diferentes.

6 Encuentre todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que hay a lo sumo $d$ valores distintos entre $P(0),P(1),P(2),\cdots,P(d^2-d)$.

2 En una fiesta a la que asisten $n$ parejas casadas, cada persona habla con todos los demás en la fiesta, excepto con su cónyuge. Las conversaciones involucran conjuntos de personas o camarillas $C_1, C_2, \cdots, C_k$ con la siguiente propiedad: ninguna pareja es miembro de la misma camarilla, pero para cualquier otro par de personas existe exactamente una camarilla a la que ambos miembros pertenecen. Demuestre que si $n \geq 4$, entonces $k \geq 2n$. Propuesto por USA. Amir