2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos primos entre sí con $k<n$. Cada número en el conjunto $M=\{1,2,3,\ldots,n-1\}$ está coloreado de azul o de blanco. Para cada $i$ en $M$, tanto $i$ como $n-i$ tienen el mismo color. Para cada $i\ne k$ en $M$, tanto $i$ como $|i-k|$ tienen el mismo color. Demuestre que todos los números en $M$ deben tener el mismo color.

5 Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e interseca los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en puntos distintos $K$ y $N$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (distinto de $B$). Demuestre que $\angle OMB=90^{\circ}$.

4 Desde un punto $K$ de un círculo, se trazan una cuerda $KA$ (el arco $AK$ es mayor que $90^{o}$) y una tangente $l$. La recta que pasa por el centro del círculo y que es perpendicular al radio $OA$, corta a $KA$ en $B$ y a $l$ en $C$. Demuestre que $KC = BC$.

3 Una $\textit{sucesión cúbica}$ es una sucesión de enteros dada por $a_n = n^3 + bn^2 + cn + d$, donde $b, c$ y $d$ son constantes enteras y $n$ recorre todos los enteros, incluyendo los enteros negativos. $\textbf{(a)}$ Demuestre que existe una sucesión cúbica tal que los únicos términos de la sucesión que son cuadrados de enteros son $a_{2015}$ y $a_{2016}$. $\textbf{(b)}$ Determine los posibles valores de $a_{2015} \cdot a_{2016}$ para una sucesión cúbica que satisface la condición en la parte $\textbf{(a)}$.

4 Encuentre todos los pares de enteros positivos \( n \) y \( x \) tales que \[ 1^n + 2^n + 3^n + \cdots + n^n = x! \] (Petko Lazarov, Bulgaria)

10 Sean $S_1$ y $S_2$ dos esferas con radios distintos que se tocan externamente. Las esferas se encuentran dentro de un cono $C$, y cada esfera toca al cono en un círculo completo. Dentro del cono hay $n$ esferas sólidas adicionales dispuestas en un anillo de tal manera que cada esfera sólida toca al cono $C$, a ambas esferas $S_1$ y $S_2$ externamente, así como a las dos esferas sólidas vecinas. ¿Cuáles son los valores posibles de $n$? Propuesto por Islandia. Amir

4 Una sucesión finita $x_1,\dots,x_r$ de enteros positivos es un palíndromo si $x_i=x_{r+1-i}$ para todo entero $1 \le i \le r$. Sea $a_1,a_2,\dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Para un entero positivo $j \ge 2$, denotamos por $a[j]$ la subsecuencia finita $a_1,a_2,\dots,a_{j-1}$. Suponga que existe una sucesión infinita estrictamente creciente $b_1,b_2,\dots$ de enteros positivos tal que para todo entero positivo $n$, la subsecuencia $a[b_n]$ es un palíndromo y $b_{n+2} \le b_{n+1}+b_n$. Demuestre que existe un entero positivo $T$ tal que $a_i=a_{i+T}$ para todo entero positivo $i$.

3 Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i=0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demuestre que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\ldots+Q_{i_n})\ge o(Q_{i_1}). \]

1 Considere dos sucesiones infinitas $a_0,a_1,a_2,\dots$ y $b_0,b_1,b_2,\dots$ de números reales tales que $a_0=0$, $b_0=0$ y \[a_{k+1}=b_k, \quad b_{k+1}=\frac{a_kb_k+a_k+1}{b_k+1}\] para cada entero $k \ge 0$. Demuestre que $a_{2024}+b_{2024} \ge 88$.

5 Encuentre todas las cuádruplas de enteros positivos $(k,a,b,c)$ tales que $2^k=a!+b!+c!$ y $a\geq b\geq c$.