4 Para una sucesión $a_1<a_2<\cdots<a_n$ de enteros, un par $(a_i,a_j)$ con $1\leq i<j\leq n$ se llama interesante si existe un par $(a_k,a_l)$ de enteros con $1\leq k<l\leq n$ tal que $$\frac{a_l-a_k}{a_j-a_i}=2.$$ Para cada $n\geq 3$, encuentre el mayor número posible de pares interesantes en una sucesión de longitud $n$.

5 Un hexágono convexo $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ de radio $R$. Las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concurrentes en $X$. Para cada $i=1,2,3$ sea $\omega_i$ tangente a los segmentos $XA_i$ y $XB_i$ y tangente al arco $A_iB_i$ de $\Omega$ que no contiene a los otros vértices del hexágono; sea $r_i$ el radio de $\omega_i$. (a) Demuestre que $R\geq r_1+r_2+r_3$. (b) Si $R= r_1+r_2+r_3$, demuestre que los seis puntos de tangencia de las circunferencias $\omega_i$ con las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concíclicos.

2 Cada punto blanco en la figura de abajo debe completarse con uno de los enteros $1, 2, ..., 9$, sin repeticiones, de tal manera que la suma de los tres números en el círculo externo sea igual a la suma de los cuatro números en cada círculo interno que no pertenecen al círculo externo. $(a)$ Demuestre una solución. $(b)$ Demuestre que, en cualquier solución, el número $9$ debe pertenecer al círculo externo.

6 Un conjunto de $n$ puntos en el espacio euclidiano tridimensional, de los cuales no hay cuatro que sean coplanares, se divide en dos subconjuntos $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$. Un árbol $\mathcal{AB}$ es una configuración de $n-1$ segmentos, cada uno de los cuales tiene un extremo en $\mathcal{A}$ y un extremo en $\mathcal{B}$, y tal que ningún segmento forma una poligonal cerrada. Un árbol $\mathcal{AB}$ se transforma en otro de la siguiente manera: elija tres segmentos distintos $A_1B_1$, $B_1A_2$ y $A_2B_2$ en el árbol $\mathcal{AB}$ tales que $A_1$ esté en $\mathcal{A}$ y $|A_1B_1|+|A_2B_2|>|A_1B_2|+|A_2B_1|$, y elimine el segmento $A_1B_1$ para reemplazarlo por el segmento $A_1B_2$. Dado cualquier árbol $\mathcal{AB}$, demuestre que toda sucesión de transformaciones sucesivas llega a su fin (no es posible realizar más transformaciones) después de un número finito de pasos.

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AC \ne BC$. En el triángulo $ABC$, sea $G$ el baricentro, $I$ el incentro y $O$ su circuncentro. Demuestre que $IG$ es paralelo a $AB$ si y solo si $CI$ es perpendicular a $IO$.

1 Dos enteros diferentes $u$ y $v$ están escritos en una pizarra. Realizamos una sucesión de pasos. En cada paso realizamos una de las siguientes dos operaciones: (i) Si $a$ y $b$ son enteros diferentes en la pizarra, entonces podemos escribir $a + b$ en la pizarra, si no está ya allí. (ii) Si $a$, $b$ y $c$ son tres enteros diferentes en la pizarra, y si un entero $x$ satisface $ax^2 +bx+c = 0$, entonces podemos escribir $x$ en la pizarra, si no está ya allí. Determine todos los pares de números iniciales $(u, v)$ a partir de los cuales cualquier entero puede eventualmente ser escrito en la pizarra después de una sucesión finita de pasos.

2a Sección de problemas #2 a) Si $$ax+by=7$$ $$ax^2+by^2=49$$ $$ax^3+by^3=133$$ $$ax^4+by^4=406$$, encuentre el valor de $2014(x+y-xy)-100(a+b).$ khan.academy

5 Encuentre, con demostración, el punto $P$ en el interior de un triángulo acutángulo $ABC$ para el cual $BL^2+CM^2+AN^2$ es un mínimo, donde $L,M,N$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC,CA,AB$ respectivamente. Propuesto por el Reino Unido. Amir

6 Demuestre que si $a, b, c$ son las longitudes de los lados de un triángulo y si $2S = a + b + c$, entonces \[\frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{c+a} +\frac{c^n}{a+b} \geq \left(\dfrac 23 \right)^{n-2}S^{n-1} \quad \forall n \in \mathbb N \] Propuesto por Grecia. Amir

5 Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e interseca los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en puntos distintos $K$ y $N$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (distinto de $B$). Demuestre que $\angle OMB=90^{\circ}$.