4 Encuentre todos los pares de enteros positivos \( n \) y \( x \) tales que \[ 1^n + 2^n + 3^n + \cdots + n^n = x! \] (Petko Lazarov, Bulgaria)

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sean $I, J, K$ los incentros de los triángulos $ABC$, $ABM$, $ACM$, respectivamente. Sean $P, Q$ puntos en las rectas $MK$, $MJ$, respectivamente, tales que $\angle AJP=\angle ABC$ y $\angle AKQ=\angle BCA$. Sea $R$ la intersección de las rectas $CP$ y $BQ$. Demuestre que las rectas $IR$ y $BC$ son perpendiculares.

1c Sección de problemas #1 c) Encuentre todos los pares $(m, n)$ de enteros no negativos para los cuales $m^2+2.3^n=m(2^{n+1}-1).$ khan.academy

4 Una sucesión finita $x_1,\dots,x_r$ de enteros positivos es un palíndromo si $x_i=x_{r+1-i}$ para todo entero $1 \le i \le r$. Sea $a_1,a_2,\dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Para un entero positivo $j \ge 2$, denotamos por $a[j]$ la subsecuencia finita $a_1,a_2,\dots,a_{j-1}$. Suponga que existe una sucesión infinita estrictamente creciente $b_1,b_2,\dots$ de enteros positivos tal que para todo entero positivo $n$, la subsecuencia $a[b_n]$ es un palíndromo y $b_{n+2} \le b_{n+1}+b_n$. Demuestre que existe un entero positivo $T$ tal que $a_i=a_{i+T}$ para todo entero positivo $i$.

3 Una $\textit{sucesión cúbica}$ es una sucesión de enteros dada por $a_n = n^3 + bn^2 + cn + d$, donde $b, c$ y $d$ son constantes enteras y $n$ recorre todos los enteros, incluyendo los enteros negativos. $\textbf{(a)}$ Demuestre que existe una sucesión cúbica tal que los únicos términos de la sucesión que son cuadrados de enteros son $a_{2015}$ y $a_{2016}$. $\textbf{(b)}$ Determine los posibles valores de $a_{2015} \cdot a_{2016}$ para una sucesión cúbica que satisface la condición en la parte $\textbf{(a)}$.

1 Encuentre una forma de escribir todos los dígitos del $1$ al $9$ en una sucesión y sin repetición, de tal manera que los números determinados por cualesquiera dos dígitos consecutivos de la sucesión sean divisibles por $7$ o $13$.

2 Demuestre que para todo entero $n$ distinto de cero, existen infinitas ternas de enteros distintos de cero $a, b$ y $c$ que satisfacen las condiciones: 1. $a + b + c = n$ 2. $ax^2 + bx + c = 0$ tiene raíces racionales.

5 Un hexágono convexo $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ de radio $R$. Las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concurrentes en $X$. Para cada $i=1,2,3$ sea $\omega_i$ tangente a los segmentos $XA_i$ y $XB_i$ y tangente al arco $A_iB_i$ de $\Omega$ que no contiene a los otros vértices del hexágono; sea $r_i$ el radio de $\omega_i$. (a) Demuestre que $R\geq r_1+r_2+r_3$. (b) Si $R= r_1+r_2+r_3$, demuestre que los seis puntos de tangencia de las circunferencias $\omega_i$ con las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concíclicos.

2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos primos entre sí con $k<n$. Cada número en el conjunto $M=\{1,2,3,\ldots,n-1\}$ está coloreado de azul o de blanco. Para cada $i$ en $M$, tanto $i$ como $n-i$ tienen el mismo color. Para cada $i\ne k$ en $M$, tanto $i$ como $|i-k|$ tienen el mismo color. Demuestre que todos los números en $M$ deben tener el mismo color.

3 Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i=0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demuestre que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\ldots+Q_{i_n})\ge o(Q_{i_1}). \]