9 El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $K$ el punto simétrico a $D$ con respecto al incentro. Las rectas $DE$ y $FK$ se cortan en $S$. Demuestre que $AS$ es paralela a $BC$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competición por Equipos, Problema 5) Martin N.

3 Igual que el Problema Senior

1 Sean $P_1, P_2, \dots, P_n$ puntos situados en un lado del $\triangle ABC$. Demuestre que el conjunto de distancias desde estos puntos a los vértices del triángulo contiene al menos $\sqrt[3]{n}$ elementos distintos.

2 Sea $n\geq 3$ un número impar. Jugaremos un juego utilizando una cuadrícula de $n$ por $n$. El juego consta de $n^2$ turnos; en cada turno, realizaremos la siguiente operación secuencialmente: $\bullet$ Elegiremos una casilla con un entero no escrito y escribiremos un entero entre 1 y $n^2$. Podemos escribir cualquier entero solo una vez durante el juego. $\bullet$ Para cada fila y columna que incluya la casilla, si la suma de los enteros es un múltiplo de $n$, obtendremos 1 punto (si ambas sumas son múltiplos de $n$, obtendremos 2 puntos). Determine el valor máximo posible de los puntos como la suma total que podemos obtener al finalizar el juego.

1 a) Suponga que $n$ es un entero impar. Demuestre que $k(n-k)$ es divisible por $2$ para todo entero positivo $k$. b) Encuentre un entero $k$ tal que $k(100-k)$ no sea divisible por $11$. c) Suponga que $p$ es un primo impar y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por $p$. d) Suponga que $p,q$ son dos primos impares distintos y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por ninguno de $p,q$.

4 Encuentre todos los enteros positivos $n$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) $n$ tiene al menos cuatro divisores positivos distintos; (b) para cualesquiera divisores $a$ y $b$ de $n$ que satisfacen $1<a<b<n$, el número $b-a$ divide a $n$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 4) Martin N.

2 Sea un triángulo $ABC$ con círculo inscrito $\omega$, tangente a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$. La perpendicular desde $B$ a $BC$ corta a $EF$ en $M$, y la perpendicular desde $C$ a $BC$ corta a $EF$ en $N$. Sean $DM$ y $DN$ las rectas que cortan a $\omega$ en $P$ y $Q$. Demuestre que $DP=DQ$.

5 Un hexágono convexo $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ de radio $R$. Las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concurrentes en $X$. Para cada $i=1,2,3$ sea $\omega_i$ tangente a los segmentos $XA_i$ y $XB_i$ y tangente al arco $A_iB_i$ de $\Omega$ que no contiene a los otros vértices del hexágono; sea $r_i$ el radio de $\omega_i$. (a) Demuestre que $R\geq r_1+r_2+r_3$. (b) Si $R= r_1+r_2+r_3$, demuestre que los seis puntos de tangencia de las circunferencias $\omega_i$ con las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concíclicos.

4 Sean $x$ e $y$ números reales positivos tales que: $x+y^{2016}\geq 1$. Demuestre que $x^{2016}+y> 1-\frac{1}{100}$

1 Considere dos sucesiones infinitas $a_0,a_1,a_2,\dots$ y $b_0,b_1,b_2,\dots$ de números reales tales que $a_0=0$, $b_0=0$ y \[a_{k+1}=b_k, \quad b_{k+1}=\frac{a_kb_k+a_k+1}{b_k+1}\] para cada entero $k \ge 0$. Demuestre que $a_{2024}+b_{2024} \ge 88$.