10 Sean $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ puntos tales que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $ABDE$ es un paralelogramo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $S$ y los rayos $AB$ y $DC$ se cortan en $F$. Demuestre que $\sphericalangle{AFS}=\sphericalangle{ECD}$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 6) Martin N.

1. Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. El círculo con diámetro $BC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ respectivamente. Denotemos por $O$ al punto medio del lado $BC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle MON$ se cortan en $R$. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $BMR$ y $CNR$ tienen un punto común que yace sobre el lado $BC$. Valentin

7 $CL$ es la bisectriz del $\angle C$ del $ABC$ e interseca al circuncírculo en $K$. $I$ es el incentro del $ABC$. $IL=LK$. Demuestre que $CI=IK$. D. Shiryaev

2 Llamamos a un número divertido si es divisible por la suma de sus dígitos $+1$. (por ejemplo, $1+2+1|12$, por lo que $12$ es divertido). ¿Cuál es el número máximo de números divertidos consecutivos? O. Podlipski

5 Igual que el Problema Senior

1 Encuentre todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a!+b$ y $b!+a$ sean ambos potencias de $5$. Nikola Velov, Macedonia del Norte

1 Sean $P_1, P_2, \dots, P_n$ puntos situados en un lado del $\triangle ABC$. Demuestre que el conjunto de distancias desde estos puntos a los vértices del triángulo contiene al menos $\sqrt[3]{n}$ elementos distintos.

3 Demuestre que no existe ninguna sucesión infinita $a_n$ de números naturales tal que \[a_{a_n}=a_{n+1}a_{n-1}-a_{n}^2\] para todo $n\geq 2$

4 Para cada entero $n$ ($n \ge 2$), sea $f(n)$ la suma de todos los enteros positivos que son a lo sumo $n$ y no son primos relativos con $n$. Demuestre que $f(n+p) \neq f(n)$ para cada $n$ de este tipo y cada primo $p$.

5 Un entero $n>1$, cuyos divisores positivos son $1=d_1<d_2< \cdots <d_k=n$, se llama $\textit{sureño}$ si todos los números $d_2-d_1, d_3- d_2 , \cdots, d_k-d_{k-1}$ son divisores de $n$. a) Encuentre un entero positivo que $\textit{no sea sureño}$ y que tenga exactamente $2022$ divisores positivos que sean $\textit{sureños}$. b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos que $\textit{no son sureños}$ y que tienen exactamente $2022$ divisores positivos que son $\textit{sureños}$.