5 En un cuadrilátero convexo $ABCD$, la diagonal $BD$ no biseca ni el ángulo $ABC$ ni el ángulo $CDA$. El punto $P$ se encuentra en el interior de $ABCD$ y satisface \[\angle PBC=\angle DBA\quad\text{y}\quad \angle PDC=\angle BDA.\] Demuestre que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico si y solo si $AP=CP$.

9 El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $K$ el punto simétrico a $D$ con respecto al incentro. Las rectas $DE$ y $FK$ se cortan en $S$. Demuestre que $AS$ es paralela a $BC$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competición por Equipos, Problema 5) Martin N.

4 Ana y Beto juegan en una cuadrícula de $2022 \times 2022$. Ana colorea de rojo algunos lados de los cuadrados del tablero, de tal manera que ningún cuadrado tenga dos lados rojos que compartan un vértice. A continuación, Beto debe colorear un camino azul que conecte dos de las cuatro esquinas del tablero, siguiendo los lados de los cuadrados y sin utilizar ningún segmento rojo. Si Beto tiene éxito, él es el ganador; de lo contrario, Ana gana. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A, B$ y $C$, respectivamente. La recta $EF$ y el circuncírculo de $ABC$ se intersecan en $P$, tal que $F$ está entre $E$ y $P$. Las rectas $BP$ y $DF$ se intersecan en $Q$. Demuestre que si $ED=EP$, entonces $CQ$ y $DP$ son paralelas.

1 Un entero \(n \geq 2\) se dice que es tuanis si, al sumar el divisor primo más pequeño de \(n\) y el divisor primo más grande de \(n\) (estos divisores pueden ser iguales), se obtiene un resultado impar. Calcule la suma de todos los números tuanis que son menores o iguales a \(2023\).

3 Se nos da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con un punto $E$ en la diagonal $AC$ tal que $AD=AE$ y $CB=CE$. Sea $M$ el centro del circuncírculo $k$ del triángulo $BDE$. El círculo $k$ corta a la recta $AC$ en los puntos $E$ y $F$. Demuestre que las rectas $FM$, $AD$ y $BC$ concurren en un punto. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 3) Martin N.

5 Se dan tres sucesiones estrictamente crecientes \[a_1, a_2, a_3, \ldots,\qquad b_1, b_2, b_3, \ldots,\qquad c_1, c_2, c_3, \ldots\] de enteros positivos. Cada entero positivo pertenece exactamente a una de las tres sucesiones. Para todo entero positivo $n$, se cumplen las siguientes condiciones: (a) $c_{a_n}=b_n+1$; (b) $a_{n+1}>b_n$; (c) el número $c_{n+1}c_{n}-(n+1)c_{n+1}-nc_n$ es par. Encuentre $a_{2010}$, $b_{2010}$ y $c_{2010}$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 1) Martin N.

5 Encuentre todos los pares de primos $(p,q)$ tales que $6pq$ divide a $$p^3+q^2+38$$

6 Sea $n \geq 2$ un entero. Lucía elige $n$ números reales $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tales que $\left| x_i-x_j \right|\geq 1$ para todo $i\neq j$. Luego, en cada casilla de una cuadrícula de $n \times n$, escribe uno de estos números, de tal manera que ningún número se repita en la misma fila o columna. Finalmente, para cada casilla, calcula el valor absoluto de la diferencia entre el número en la casilla y el número en la primera casilla de su misma fila. Determine el valor más pequeño que puede tomar la suma de los $n^2$ números que Lucía calculó.

3 Tenemos un gran suministro de sombreros negros, blancos, rojos y verdes. Queremos entregar $8$ de estos sombreros a $8$ estudiantes que están sentados alrededor de una mesa redonda. Encuentre el número de formas de hacerlo en cada uno de los siguientes casos (asumiendo para los propósitos de este problema que los estudiantes no cambiarán sus lugares y que los sombreros del mismo color son idénticos): a) Cada sombrero que se utilice debe ser rojo o verde. b) Se deben utilizar exactamente dos sombreros de cada color. c) Se deben utilizar exactamente dos sombreros de cada color, y cada par de sombreros del mismo color debe entregarse a dos estudiantes adyacentes. d) Se deben utilizar exactamente dos sombreros de cada color, y ningún par de sombreros del mismo color debe entregarse a dos estudiantes adyacentes. e) No hay restricciones sobre el número de sombreros de cada color que se deben utilizar, pero ningún par de sombreros del mismo color debe entregarse a dos estudiantes adyacentes.