3 Defina un "gancho" como una figura compuesta por seis cuadrados unitarios como se muestra en la imagen a continuación, o cualquiera de las figuras obtenidas aplicando rotaciones y reflexiones a esta figura. [asy] unitsize(0.5 cm); draw((0,0)--(1,0)); draw((0,1)--(1,1)); draw((2,1)--(3,1)); draw((0,2)--(3,2)); draw((0,3)--(3,3)); draw((0,0)--(0,3)); draw((1,0)--(1,3)); draw((2,1)--(2,3)); draw((3,1)--(3,3)); [/asy] Determine todos los rectángulos $m\times n$ que pueden ser cubiertos sin huecos y sin superposiciones con ganchos, tales que: - el rectángulo sea cubierto sin huecos y sin superposiciones, - ninguna parte de un gancho cubra un área fuera del rectángulo. Valentin

1 Existe una tabla cuadrada de $100 \times 100$, con un número real escrito en cada celda. $A$ y $B$ juegan el siguiente juego. Ellos eligen, turno por turno, alguna fila de la tabla (si no ha sido elegida anteriormente). Cuando $A$ y $B$ han elegido $50$ filas cada uno, suman los números en las celdas correspondientes de las filas elegidas, y luego suman los cuadrados de todos los $100$ números obtenidos y comparan los resultados. El jugador que obtiene el mayor resultado gana. El jugador $A$ comienza. Demuestre que $A$ puede evitar la derrota.

1 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todo $x, y\in\mathbb{R}$, se cumple \[f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y).\] Martin N.

3 Igual que el Problema Senior

4 Encuentre todos los números reales $a$ y $b$ que satisfacen la relación $2(a^2 + 1)(b^2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1)$

3 Una banda de ancho $w$ es el conjunto de todos los puntos que yacen sobre, o entre, dos líneas paralelas a una distancia $w$ una de la otra. Sea $S$ un conjunto de $n$ ($n \ge 3$) puntos en el plano tales que cualesquiera tres puntos diferentes de $S$ pueden ser cubiertos por una banda de ancho $1$. Demuestre que $S$ puede ser cubierto por una banda de ancho $2$.

6 ¿Puede $\mathbb Z$ ser contenido en la unión de progresiones aritméticas finitas con diferencias coprimas mayores que $1$? (Por $\mathbb Z$ nos referimos al conjunto de los números enteros, y por progresión aritmética nos referimos al conjunto de números $a+mk$, $k\in\mathbb Z$).

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $AC$. El punto $C_1$ sobre $AB$ es tal que $CC_1$ es una altura del triángulo $ABC$. Sea $H_1$ la reflexión de $H$ respecto a $AB$. Las proyecciones ortogonales de $C_1$ sobre las rectas $AH_1$, $AC$ y $BC$ son $P$, $Q$ y $R$, respectivamente. Sea $M_1$ el punto tal que el circuncentro del triángulo $PQR$ es el punto medio del segmento $MM_1$. Demuestre que $M_1$ se encuentra sobre el segmento $BH_1$.

9 El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $K$ el punto simétrico a $D$ con respecto al incentro. Las rectas $DE$ y $FK$ se cortan en $S$. Demuestre que $AS$ es paralela a $BC$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competición por Equipos, Problema 5) Martin N.

2 Encuentre todos los polinomios $f$ con coeficientes reales tales que para todos los números reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca = 0$ se cumple la siguiente relación: \[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \] Valentin