6 En una pizarra están escritos los números $1, 2, 3, \dots, 170$. Se desea colorear cada uno de estos números con $k$ colores $C_1, C_2, \dots, C_k$, de tal manera que se satisfaga la siguiente condición: para cada $i$ con $1 \leq i < k$, la suma de todos los números con el color $C_i$ divide a la suma de todos los números con el color $C_{i+1}$. Determine el mayor valor posible de $k$ para el cual es posible realizar dicha coloración.

2 Sea $n\geq 3$ un número impar. Jugaremos un juego utilizando una cuadrícula de $n$ por $n$. El juego consta de $n^2$ turnos; en cada turno, realizaremos la siguiente operación secuencialmente: $\bullet$ Elegiremos una casilla con un entero no escrito y escribiremos un entero entre 1 y $n^2$. Podemos escribir cualquier entero solo una vez durante el juego. $\bullet$ Para cada fila y columna que incluya la casilla, si la suma de los enteros es un múltiplo de $n$, obtendremos 1 punto (si ambas sumas son múltiplos de $n$, obtendremos 2 puntos). Determine el valor máximo posible de los puntos como la suma total que podemos obtener al finalizar el juego.

3 Se nos da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con un punto $E$ en la diagonal $AC$ tal que $AD=AE$ y $CB=CE$. Sea $M$ el centro del circuncírculo $k$ del triángulo $BDE$. El círculo $k$ corta a la recta $AC$ en los puntos $E$ y $F$. Demuestre que las rectas $FM$, $AD$ y $BC$ concurren en un punto. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 3) Martin N.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A, B$ y $C$, respectivamente. La recta $EF$ y el circuncírculo de $ABC$ se intersecan en $P$, tal que $F$ está entre $E$ y $P$. Las rectas $BP$ y $DF$ se intersecan en $Q$. Demuestre que si $ED=EP$, entonces $CQ$ y $DP$ son paralelas.

2 En cada celda de una cuadrícula de \(n \times n\), se debe escribir uno de los números \(0\), \(1\) o \(2\). Determine todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existe una forma de llenar la cuadrícula de \(n \times n\) tal que, al calcular la suma de los números en cada fila y en cada columna, se obtengan los números \(1, 2, \ldots, 2n\) en algún orden.

1 Un entero \(n \geq 2\) se dice que es tuanis si, al sumar el divisor primo más pequeño de \(n\) y el divisor primo más grande de \(n\) (estos divisores pueden ser iguales), se obtiene un resultado impar. Calcule la suma de todos los números tuanis que son menores o iguales a \(2023\).

2 Encuentre todos los enteros positivos $x,y,z$ que satisfacen: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xyz$

2 Sean $M$ y $N$ puntos en los lados $AB$ y $BC$ del $\triangle ABC$ tales que $$\frac{BC}{BN} - \frac{BA}{BM} = k \neq 0,$$ donde $k$ es una constante. (a) Demuestre que todas las rectas $MN$ se cortan en un punto común. (b) Determine la condición para que el punto de intersección se encuentre en el circuncírculo del $\triangle ABC$, y exprese $k$ en términos de los lados del triángulo.

5 Igual que el Problema Senior

1 Hay $100$ números reales distintos. Demuestre que podemos colocarlos en una tabla de $10 \times 10$, tal que la diferencia entre dos números en celdas con un lado común no sea igual a $1$. A. Golovanov