1 Existe una tabla cuadrada de $100 \times 100$, con un número real escrito en cada celda. $A$ y $B$ juegan el siguiente juego. Ellos eligen, turno por turno, alguna fila de la tabla (si no ha sido elegida anteriormente). Cuando $A$ y $B$ han elegido $50$ filas cada uno, suman los números en las celdas correspondientes de las filas elegidas, y luego suman los cuadrados de todos los $100$ números obtenidos y comparan los resultados. El jugador que obtiene el mayor resultado gana. El jugador $A$ comienza. Demuestre que $A$ puede evitar la derrota.

1 a) Suponga que $n$ es un entero impar. Demuestre que $k(n-k)$ es divisible por $2$ para todo entero positivo $k$. b) Encuentre un entero $k$ tal que $k(100-k)$ no sea divisible por $11$. c) Suponga que $p$ es un primo impar y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por $p$. d) Suponga que $p,q$ son dos primos impares distintos y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por ninguno de $p,q$.

6 Llamamos a un entero positivo alternante si cada dos dígitos consecutivos en su representación decimal son de distinta paridad. Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ tiene un múltiplo que es alternante.

5 En un cuadrilátero convexo $ABCD$, la diagonal $BD$ no biseca ni el ángulo $ABC$ ni el ángulo $CDA$. El punto $P$ se encuentra en el interior de $ABCD$ y satisface \[\angle PBC=\angle DBA\quad\text{y}\quad \angle PDC=\angle BDA.\] Demuestre que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico si y solo si $AP=CP$.

3 Defina un "gancho" como una figura compuesta por seis cuadrados unitarios como se muestra en la imagen a continuación, o cualquiera de las figuras obtenidas aplicando rotaciones y reflexiones a esta figura. [asy] unitsize(0.5 cm); draw((0,0)--(1,0)); draw((0,1)--(1,1)); draw((2,1)--(3,1)); draw((0,2)--(3,2)); draw((0,3)--(3,3)); draw((0,0)--(0,3)); draw((1,0)--(1,3)); draw((2,1)--(2,3)); draw((3,1)--(3,3)); [/asy] Determine todos los rectángulos $m\times n$ que pueden ser cubiertos sin huecos y sin superposiciones con ganchos, tales que: - el rectángulo sea cubierto sin huecos y sin superposiciones, - ninguna parte de un gancho cubra un área fuera del rectángulo. Valentin

Se dan tres círculos $S, S_1, S_2$ en un plano. $S_1$ y $S_2$ son tangentes entre sí externamente, y ambos son tangentes internamente a $S$ en $A_1$ y $A_2$ respectivamente. La tangente interna común a $S_1$ y $S_2$ corta a $S$ en $P$ y $Q$. Sean $B_1$ y $B_2$ las intersecciones de $PA_1$ y $PA_2$ con $S_1$ y $S_2$, respectivamente. Demuestre que $B_1B_2$ es una tangente común a $S_1$ y $S_2$.

3 Considere $n$ puntos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en un círculo. ¿De cuántas formas es posible colorear estos puntos con $p$ colores, de tal manera que cada dos puntos vecinos estén coloreados con dos colores diferentes?

4 Encuentre todos los enteros positivos $n$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) $n$ tiene al menos cuatro divisores positivos distintos; (b) para cualesquiera divisores $a$ y $b$ de $n$ que satisfacen $1<a<b<n$, el número $b-a$ divide a $n$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 4) Martin N.

10 Sean $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ puntos tales que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $ABDE$ es un paralelogramo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $S$ y los rayos $AB$ y $DC$ se cortan en $F$. Demuestre que $\sphericalangle{AFS}=\sphericalangle{ECD}$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 6) Martin N.

5 a) Demuestre que existen cinco enteros $A, B, C, D$ y $E$ tales que $2018 = A^5 + B^5 + C^5 + D^5 + E^5$. b) Demuestre que no existen cuatro enteros $A, B, C$ y $D$ tales que $2018 = A^5 + B^5 + C^5 + D^5$.