2 Sean $M$ y $N$ puntos en los lados $AB$ y $BC$ del $\triangle ABC$ tales que $$\frac{BC}{BN} - \frac{BA}{BM} = k \neq 0,$$ donde $k$ es una constante. (a) Demuestre que todas las rectas $MN$ se cortan en un punto común. (b) Determine la condición para que el punto de intersección se encuentre en el circuncírculo del $\triangle ABC$, y exprese $k$ en términos de los lados del triángulo.

1 Un entero positivo es feliz si: 1. Todos sus dígitos son diferentes y distintos de $0$, 2. Uno de sus dígitos es igual a la suma de los otros dígitos. Por ejemplo, 253 es un número feliz. ¿Cuántos números felices existen?

5 Igual que el Problema Senior

2 Sea un triángulo $ABC$ con círculo inscrito $\omega$, tangente a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$. La perpendicular desde $B$ a $BC$ corta a $EF$ en $M$, y la perpendicular desde $C$ a $BC$ corta a $EF$ en $N$. Sean $DM$ y $DN$ las rectas que cortan a $\omega$ en $P$ y $Q$. Demuestre que $DP=DQ$.

1 Hay $100$ números reales distintos. Demuestre que podemos colocarlos en una tabla de $10 \times 10$, tal que la diferencia entre dos números en celdas con un lado común no sea igual a $1$. A. Golovanov

6 Sea $n \geq 2$ un entero. Lucía elige $n$ números reales $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tales que $\left| x_i-x_j \right|\geq 1$ para todo $i\neq j$. Luego, en cada casilla de una cuadrícula de $n \times n$, escribe uno de estos números, de tal manera que ningún número se repita en la misma fila o columna. Finalmente, para cada casilla, calcula el valor absoluto de la diferencia entre el número en la casilla y el número en la primera casilla de su misma fila. Determine el valor más pequeño que puede tomar la suma de los $n^2$ números que Lucía calculó.

4 a) Tenemos una sucesión geométrica de $3$ términos. Si la suma de estos términos es $26$ y la suma de sus cuadrados es $364$, encuentre los términos de la sucesión. b) Suponga que $a,b,c,u,v,w$ son números reales positivos, y que tanto $a,b,c$ como $u,v,w$ son sucesiones geométricas. Suponga también que $a+u,b+v,c+w$ forman una sucesión aritmética. Demuestre que $a=b=c$ y $u=v=w$. c) Sean $a,b,c,d$ números reales (no todos cero), y sea $f(x,y,z)$ el polinomio en tres variables definido por $$f(x,y,z) = axyz + b(xy + yz + zx) + c(x+y+z) + d$$ . Demuestre que $f(x,y,z)$ es reducible si y solo si $a,b,c,d$ es una sucesión geométrica.

2 Encuentre todos los enteros positivos $x,y,z$ que satisfacen: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xyz$

1 Sean $P_1, P_2, \dots, P_n$ puntos situados en un lado del $\triangle ABC$. Demuestre que el conjunto de distancias desde estos puntos a los vértices del triángulo contiene al menos $\sqrt[3]{n}$ elementos distintos.

1 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos. Demuestre que \[ \frac{a^2b(b-c)}{a+b}+\frac{b^2c(c-a)}{b+c}+\frac{c^2a(a-b)}{c+a} \ge 0. \]