3 Encuentre todos los $x$ positivos tales que la sucesión $x - [x]$ , $[x]$ , $x$ sea una progresión geométrica: $$\frac{[x]}{x - [x]} = \frac{x}{[x]}$$ MR.1

3 Dado el triángulo $ABC$, consideramos los puntos $X,Y,Z$ tales que los triángulos $ABZ,BCX,CAZ$ son equiláteros y no tienen intersección con $ABC$. Sea $B'$ el punto medio de $BC$, $N'$ el punto medio de $CY$, y $M,N$ los puntos medios de $AZ,CX$, respectivamente. Demuestre que $B'N' \bot MN$.

3 Para cada entero positivo $\,n,\;S(n)\,$ se define como el mayor entero tal que, para todo entero positivo $\,k\leq S(n),\;n^{2}\,$ puede escribirse como la suma de $\,k\,$ cuadrados positivos. a.) Demuestre que $\,S(n)\leq n^{2}-14\,$ para cada $\,n\geq 4$. b.) Encuentre un entero $\,n\,$ tal que $\,S(n)=n^{2}-14$. c.) Demuestre que existen infinitos enteros $\,n\,$ tales que $\,S(n)=n^{2}-14$.

2 El triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ y $R$ es el punto medio de la hipotenusa $BC$. En el cateto mayor $AB$ se marca el punto $P$ tal que $CP = BP$ y en el segmento $BP$ se marca el punto $Q$ tal que el triángulo $PQR$ es equilátero. Si el área del triángulo $ABC$ es $27$, calcule el área del triángulo $PQR$.

1 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ para las cuales \[f(x+y)=f(x-y)+f(f(1-xy))\] se cumple para todos los números reales $x$ e $y$

4 Celia elige un número $n$ y escribe la lista de números naturales del $1$ al $n$: $1, 2, 3, 4, ..., n-1, n.$ En cada paso, cambia la lista: copia el primer número al final y elimina los dos primeros. Después de $n-1$ pasos, quedará escrito un único número. Por ejemplo, para $n=6$ los cinco pasos son: $$ 1,2,3,4,5,6 \to 3,4,5,6,1 \to 5,6,1,3 \to 1,3,5 \to 5,1 \to 5$$ y el número $5$ es el que queda escrito. Celia eligió un número $n$ entre $1000$ y $3000$ y, después de $n-1$ pasos, el número $1$ fue el que quedó escrito. Determine todos los valores de $n$ que Celia pudo haber elegido. Justifique por qué esos valores funcionan y los otros no.

3 Encuentre el entero positivo más pequeño que termina en $56$, es múltiplo de $56$ y cuya suma de dígitos es igual a $56$.

7 Sea $N$ un entero positivo. Hay $N$ guijarros sobre una mesa. Alice y Bob juegan un juego tomando turnos para recoger guijarros de la mesa, comenzando Alice. En cada turno, un jugador puede realizar una de las siguientes dos operaciones: Operación A: recoger 1, 2 o 3 guijarros; Operación B: recoger 4 guijarros. A cada jugador se le permite realizar la Operación B como máximo 5 veces. El jugador que recoge los últimos guijarros gana. Determine el número de valores de $N$ en $1, 2, \ldots, 2025$ tales que Alice tiene una estrategia ganadora.

8.4 Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo equilátero con lados de longitud $n$ se divide en triángulos equiláteros con longitudes de lado $1$, formando una red triangular. Llame "importante" a un triángulo equilátero con vértices en la red. Sea $p_k$ el número de pares no ordenados de vértices en la red que participan en exactamente $k$ triángulos importantes. Encuentre (como una función de $n$) (a) $p_0+p_1+p_2$ (b) $p_1+2p_2$

1 Encuentre todos los $k>0$ para los cuales existe una función estrictamente decreciente $g:(0;+\infty)\to(0;+\infty)$ tal que $g(x)\geq kg(x+g(x))$ para todo $x$ positivo.