4 Demuestre que ningún cubo perfecto es de la forma $y^2+108$ donde $y \in \mathbb{Z}$.

1 Los enteros positivos $1, 2, ..., 121$ están dispuestos en las casillas de una tabla de $11 \times 11$. Dima calculó el producto de los números en cada fila y Sasha calculó el producto de los números en cada columna. ¿Podrían obtener el mismo conjunto de $11$ números? Propuesto por S. Berlov

5 Usted tiene $2$ columnas de $11$ cuadrados en el medio, a la derecha y a la izquierda tiene columnas de $9$ cuadrados (centradas sobre las de $11$ cuadrados), luego columnas de $7, 5, 3, 1$ cuadrados. (Esta es la forma en que se explicó en el hilo original, http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=44430; de todos modos, creo que puede entender cómo se ve). Varias torres están sobre el tablero y cubren todos los cuadrados (una torre también cubre el cuadrado en el que se encuentra). Demuestre que se pueden retirar varias torres de tal manera que no queden más de $11$ torres y aún así se cubran todos los cuadrados del tablero. Propuesto por D. Rostovsky, basado en folclore.

8 En un triángulo acutángulo $ABC$, con $AB>AC$, sean $D, E, F$ las proyecciones de $A, B, C$ sobre los lados opuestos, respectivamente. La mediatriz de $BF$ corta a $DE$ en $P$, y la mediatriz de $CE$ corta a $DF$ en $Q$. Sea $K$ un punto en la recta $PQ$ tal que $\angle PKE=\angle PKF$, y sea $DK$ una recta que corta al circuncírculo del $\triangle KEF$ en $T \neq K$. Demuestre que $\angle ATE=\angle ATF$.

2 Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ tal que $AB||DE$, $BC||EF$, $CD||FA$. Los puntos $M, N, K$ son los puntos comunes de las rectas $BD$ y $AE$, $AC$ y $DF$, $CE$ y $BF$ respectivamente. Demuestre que las perpendiculares trazadas desde $M, N, K$ a las rectas $AB, CD, EF$ respectivamente son concurrentes.

1 Javier multiplica cuatro dígitos, no necesariamente diferentes, y obtiene un número que termina en $7$. Determine cuánto puede valer la suma de los cuatro dígitos que Javier multiplica. Dé todas las posibilidades.

6 ¿Existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m, n)$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos? La expresión $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera (o suelo) del número real $x$. Por lo tanto, $\lfloor\sqrt{2}\rfloor = 1, \lfloor\pi\rfloor =\lfloor 22/7 \rfloor = 3, \lfloor 42\rfloor = 42,$ y $\lfloor 0 \rfloor = 0$.

2 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen: $$f(2025x - f(0)) = 2025x^{2}$$ para todo $x \in \mathbb{R}$. MR.1

1 Sea $P(x)=x^4+5x^3+mx^2+5nx+4$ un polinomio que tiene $2$ raíces reales distintas, cuya suma es $-5$. Si $m,n \in \mathbb {Z_+}$ , encuentre los valores de $m,n$ y sus raíces correspondientes.

4 Para un número real $\lambda$ considere la afirmación $P(\lambda)$: Existe un entero positivo $n$ y $3n$ números reales distintos dos a dos $a_1, a_2, \cdots a_n \; ; \; b_1, b_2, \cdots, b_n \; ; \; c_1, c_2, \cdots c_n$ tales que: \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, a_i>b_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, b_i>c_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, c_i>a_j \}| \ge \lambda n^2 \] Demuestre que si $\lambda < \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ entonces $P(\lambda)$ es verdadera y, en caso contrario, es falsa.