3 ¿Existen enteros $x,y,z,k>1$ tales que: $\text{(1)} \; x, y, z$ tienen exactamente $k$ divisores mayores que $1$. $\text{(2)} \;$ Existe una permutación $a_1, a_2, \cdots, a_k$ de los $k$ divisores de $x$ mayores que $1$ y una permutación $b_1, b_2, \cdots, b_k$ de los $k$ divisores de $y$ mayores que $1$ tales que $a_i+b_i$ para todo $1 \le i \le k$ son todos los divisores de $z$ mayores que $1$?

2 El triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ y $R$ es el punto medio de la hipotenusa $BC$. En el cateto mayor $AB$ se marca el punto $P$ tal que $CP = BP$ y en el segmento $BP$ se marca el punto $Q$ tal que el triángulo $PQR$ es equilátero. Si el área del triángulo $ABC$ es $27$, calcule el área del triángulo $PQR$.

3 Sean $n$, $m$ y $k$ enteros positivos que satisfacen $(n-1)n(n+1)=m^k.$ Demuestre que $k=1.$

8.4 Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo equilátero con lados de longitud $n$ se divide en triángulos equiláteros con longitudes de lado $1$, formando una red triangular. Llame "importante" a un triángulo equilátero con vértices en la red. Sea $p_k$ el número de pares no ordenados de vértices en la red que participan en exactamente $k$ triángulos importantes. Encuentre (como una función de $n$) (a) $p_0+p_1+p_2$ (b) $p_1+2p_2$

5 Un plano tiene un punto especial $O$ llamado origen. Sea $P$ un conjunto de 2021 puntos en el plano tales que no hay tres puntos en $P$ que sean colineales y no hay dos puntos en $P$ que se encuentren en una recta que pase por el origen. Un triángulo con vértices en $P$ es gordo si $O$ está estrictamente dentro del triángulo. Encuentre el número máximo de triángulos gordos.

2021.7.3 Se traza la bisectriz $CD$ en el triángulo $ABC$. Se sabe que $\angle A = 2\angle B$ y $\angle C= 2(\angle A + \angle B)$. Demuestre que $AB=BC+CD$.

Se escriben ceros en todas las casillas de un tablero de $5\times 5$. Podemos elegir una casilla arbitraria y aumentar en 1 el número en esta casilla y en las casillas que tienen un lado común con ella. ¿Es posible obtener el número 2012 en todas las casillas simultáneamente?

2022.8.4 En un triángulo acutángulo $ABC$ se traza la altura $AD$. Se sabe que $2CD = BD$. Sea $K \ne A$ un punto en el círculo circunscrito del triángulo $ABC$ tal que $AK \parallel BC$. Sea $S$ el punto medio de $AB$. Demuestre que la recta $SK$ es perpendicular a la recta $BC$.

3 Dado el triángulo $ABC$, consideramos los puntos $X,Y,Z$ tales que los triángulos $ABZ,BCX,CAZ$ son equiláteros y no tienen intersección con $ABC$. Sea $B'$ el punto medio de $BC$, $N'$ el punto medio de $CY$, y $M,N$ los puntos medios de $AZ,CX$, respectivamente. Demuestre que $B'N' \bot MN$.

3 Para cada entero positivo $\,n,\;S(n)\,$ se define como el mayor entero tal que, para todo entero positivo $\,k\leq S(n),\;n^{2}\,$ puede escribirse como la suma de $\,k\,$ cuadrados positivos. a.) Demuestre que $\,S(n)\leq n^{2}-14\,$ para cada $\,n\geq 4$. b.) Encuentre un entero $\,n\,$ tal que $\,S(n)=n^{2}-14$. c.) Demuestre que existen infinitos enteros $\,n\,$ tales que $\,S(n)=n^{2}-14$.