2 Dentro de un cuadrado de $11\times 11$, Pablo dibujó un rectángulo y, extendiendo sus lados, dividió el cuadrado en $5$ rectángulos, como se muestra en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/5/a/7774da7085f283b3aae74fb5ff472572571827.gif Sofía hizo lo mismo, pero además logró que las longitudes de los lados de los $5$ rectángulos fueran números enteros entre $1$ y $10$, todos diferentes. Muestre una figura como la que hizo Sofía.

4 Demuestre que ningún cubo perfecto es de la forma $y^2+108$ donde $y \in \mathbb{Z}$.

2 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen: $$f(2025x - f(0)) = 2025x^{2}$$ para todo $x \in \mathbb{R}$. MR.1

5 Usted tiene $2$ columnas de $11$ cuadrados en el medio, a la derecha y a la izquierda tiene columnas de $9$ cuadrados (centradas sobre las de $11$ cuadrados), luego columnas de $7, 5, 3, 1$ cuadrados. (Esta es la forma en que se explicó en el hilo original, http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=44430; de todos modos, creo que puede entender cómo se ve). Varias torres están sobre el tablero y cubren todos los cuadrados (una torre también cubre el cuadrado en el que se encuentra). Demuestre que se pueden retirar varias torres de tal manera que no queden más de $11$ torres y aún así se cubran todos los cuadrados del tablero. Propuesto por D. Rostovsky, basado en folclore.

9.3, 9.4 $9.3$ Un número natural se llama libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. Para un número natural $a$, consideramos el número $f(a) = a^{a+1} + 1$. Demuestre que: a) si $a$ es par, entonces $f(a)$ no es libre de cuadrados; b) existen infinitos $a$ impares para los cuales $f(a)$ no es libre de cuadrados. $9.4$ Llamaremos $2n$-paralelogramo generalizado a un polígono convexo con $2n$ lados, tal que, recorridos consecutivamente, el $k$-ésimo lado es paralelo e igual al $(n+k)$-ésimo lado para $k=1, 2, ... , n$. En un sistema de coordenadas rectangulares, se da un paralelogramo generalizado con $50$ vértices, cada uno con coordenadas enteras. Demuestre que su área es al menos $300$.

6 Sea $n \ge 2$ un entero positivo, y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales no negativos. Demuestre que \[ \frac{1}{3} \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 \ge \sum_{1 \le i<j \le n} \frac{x_i x_j}{2^{\nu_2(j-i)}}. \] Nota: Para un entero positivo $k$, $\nu_2(k)$ denota el mayor entero $\alpha$ tal que $2^\alpha \mid k$.

2024.8.4 En el triángulo $ABC$, $\angle ABC = 60^\circ$. $O$ es el centro de su circunferencia circunscrita y $H$ es su ortocentro (el punto de intersección de las alturas). $D$ es un punto en $BC$ tal que $BD=BH$, y $E$ es un punto en $AB$ tal que $BE=BO$. Encuentre la longitud de $DE$ si $BO=1$.

5 Hay $90$ tarjetas y en cada una hay escritos dos dígitos diferentes: $01$ , $02$ , $03$ , $04$ , $05$ , $06$ , $07$ , $08$ , $09$ , $10$ , $12$ , y así sucesivamente hasta $98$ . Un conjunto de tarjetas es correcto si no contiene ninguna tarjeta cuyo primer dígito sea el mismo que el segundo dígito de otra tarjeta en el conjunto. Llamamos valor de un conjunto de tarjetas a la suma de los números escritos en cada tarjeta. Por ejemplo, las cuatro tarjetas $04$ , $35$ , $78$ y $98$ forman un conjunto correcto y su valor es $215$ , ya que $04+35+78+98=215$ . Encuentre un conjunto correcto que tenga el mayor valor posible. Explique por qué es imposible lograr un conjunto correcto de mayor valor.

3 Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz externa del ángulo $A$ con las alturas de $ABC$ que pasan por $B$ y $C$ respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos en los segmentos $EC$ y $FB$ respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demuestre que los puntos $E, F, N, M$ yacen sobre un círculo.

2 Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $PQ$. Un círculo $k$ es tangente internamente a $\omega$ y al segmento $PQ$ en $C$. Sea $AB$ la tangente a $k$ perpendicular a $PQ$, con $A$ en $\omega$ y $B$ en el segmento $CQ$. Demuestre que $AC$ biseca el ángulo $\angle PAB$.