2024.8.4 En el triángulo $ABC$, $\angle ABC = 60^\circ$. $O$ es el centro de su circunferencia circunscrita y $H$ es su ortocentro (el punto de intersección de las alturas). $D$ es un punto en $BC$ tal que $BD=BH$, y $E$ es un punto en $AB$ tal que $BE=BO$. Encuentre la longitud de $DE$ si $BO=1$.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$ y sea $M$ el punto medio de $OD$. Los puntos $O_b$ y $O_c$ son los circuncentros de los triángulos $AOC$ y $AOB$, respectivamente. Si $AO=AD$, demuestre que los puntos $A$, $O_b$, $M$ y $O_c$ son concíclicos. Marin Hristov y Bozhidar Dimitrov, Bulgaria

2 Demuestre que para todos los números reales no negativos $x,y,z$, no todos iguales a $0$, se cumple la siguiente desigualdad: $$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$$ Determine todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se cumple la igualdad. Milan Mitreski, Serbia

1 Sea $\{x_n \}$ una sucesión de números reales tal que $x_1=1$ y para todo $n \ge 2$ tenemos que, entre todas las permutaciones $a_1, a_2, \cdots, a_n$ de $\{1, 2, \cdots, n \}$, la suma $a_1x_1+a_2x_2+ \cdots + a_nx_n$ tiene un mínimo en $0$. Encuentre todos los valores posibles de $x_{2025}$.

6 Dado un entero positivo $n$ y una sucesión infinita de fracciones propias $x_0 = \frac{a_0}{n}$ , $\ldots$ , $x_i=\frac{a_i}{n+i}$ , con $a_i < n+i$ . Demuestre que existen un entero positivo $k$ y enteros $c_1$ , $\ldots$ , $c_k$ tales que \[ c_1 x_1 + \ldots + c_k x_k = 1. \] Propuesto por M. Dubashinsky

3 Encuentre el entero positivo más pequeño que termina en $56$, es múltiplo de $56$ y cuya suma de dígitos es igual a $56$.

2020.8.1 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ se cumple la igualdad $CD-AB=BC$. La bisectriz exterior del ángulo $B$ y la bisectriz interior del ángulo $C$ se cortan en el punto $M$. Demuestre que $MA=MD$.

2023.8.2 En un triángulo acutángulo $ABC$ ( $BA\ne BC$ ), se trazan las alturas $BE$ y $CF$. Los puntos $M, N$ son los puntos medios de los lados $BC, CA$, respectivamente. La recta $CF$ corta al círculo circunscrito del triángulo $BEN$ en los puntos $X$ e $Y$. Demuestre que los puntos $A, M, X, Y$ yacen sobre el mismo círculo.

4 Demuestre que ningún cubo perfecto es de la forma $y^2+108$ donde $y \in \mathbb{Z}$.

1 Sea $P(x)=x^4+5x^3+mx^2+5nx+4$ un polinomio que tiene $2$ raíces reales distintas, cuya suma es $-5$. Si $m,n \in \mathbb {Z_+}$ , encuentre los valores de $m,n$ y sus raíces correspondientes.