6 ¿Existe un entero no negativo $a$ para el cual la ecuación \[\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a\] tiene más de un millón de soluciones diferentes $(m, n)$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos? La expresión $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera (o suelo) del número real $x$. Por lo tanto, $\lfloor\sqrt{2}\rfloor = 1, \lfloor\pi\rfloor =\lfloor 22/7 \rfloor = 3, \lfloor 42\rfloor = 42,$ y $\lfloor 0 \rfloor = 0$.

2024.8.4 En el triángulo $ABC$, $\angle ABC = 60^\circ$. $O$ es el centro de su circunferencia circunscrita y $H$ es su ortocentro (el punto de intersección de las alturas). $D$ es un punto en $BC$ tal que $BD=BH$, y $E$ es un punto en $AB$ tal que $BE=BO$. Encuentre la longitud de $DE$ si $BO=1$.

5 Para cualquier entero positivo $n$, sea $f(n)=\tau(n)+\sigma(n)$, donde $\tau(n)$ y $\sigma(n)$ denotan el número de divisores positivos de $n$ y la suma de los divisores positivos de $n$, respectivamente. (a) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \not\equiv f(n+1) \pmod 4$. (b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \equiv f(n+1) \pmod 4$.

2025.8.3 Los círculos $\Gamma$ y $\Omega$ son tangentes internamente entre sí en el punto $A$. El círculo $\Omega$ se encuentra dentro del círculo $\Gamma$. Se elige un punto $P$ diferente del punto $A$ en el círculo $\Gamma$. Las cuerdas $P R$ y $P Q$ del círculo $\Gamma$ son tangentes al círculo $\Omega$ en los puntos $B$ y $C$, respectivamente. La recta $A P$ corta al círculo $\Omega$ en el punto $X$ $(X \neq A)$. Las rectas $A C$ y $B X$ se cortan en el punto $Y$ (el punto $C$ se encuentra entre los puntos $A$ y $Y$, el punto $X$ se encuentra entre los puntos $B$ y $Y$). Resulta que el punto $Y$ se encuentra en el círculo $\Gamma$. Demuestre que $A Q \cdot C R \neq A R \cdot B Q$.

4 Para un número real $\lambda$ considere la afirmación $P(\lambda)$: Existe un entero positivo $n$ y $3n$ números reales distintos dos a dos $a_1, a_2, \cdots a_n \; ; \; b_1, b_2, \cdots, b_n \; ; \; c_1, c_2, \cdots c_n$ tales que: \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, a_i>b_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, b_i>c_j \}| \ge \lambda n^2 \] \[ | \{ (i, j ) : 1 \le i,j \le n, c_i>a_j \}| \ge \lambda n^2 \] Demuestre que si $\lambda < \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ entonces $P(\lambda)$ es verdadera y, en caso contrario, es falsa.

6 Sea $n \ge 2$ un entero positivo, y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales no negativos. Demuestre que \[ \frac{1}{3} \left( \sum_{i=1}^n x_i \right)^2 \ge \sum_{1 \le i<j \le n} \frac{x_i x_j}{2^{\nu_2(j-i)}}. \] Nota: Para un entero positivo $k$, $\nu_2(k)$ denota el mayor entero $\alpha$ tal que $2^\alpha \mid k$.

3 Los organizadores de un congreso matemático descubrieron que si alojan a cualquier participante en una habitación, el resto puede ser alojado en habitaciones dobles de tal manera que las 2 personas que viven en cada habitación se conocen entre sí. Demuestre que cada participante puede organizar una mesa redonda sobre teoría de grafos para sí mismo y un número par de otras personas, de modo que cada participante de la mesa redonda conozca a sus dos vecinos. Propuesto por S. Berlov, S. Ivanov

2018.7.10 Todos los lados del pentágono convexo $ABCDE$ son iguales, y $\angle BCD=2\angle ACE$. Encuentre $\angle ACE$.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$ y $AB>BC$. Sea $E$ un punto en $AC$ tal que $AE<EC$. Sea $l$ la recta que pasa por $E$ perpendicular a $AC$, que interseca a los circuncírculos de $\triangle AED$, $\triangle BED$ y $\triangle CED$ en $X$, $Y$ y $Z$ respectivamente, de tal manera que $E, Y, Z, X$ se encuentran sobre $l$ en ese orden. Si $AX=BY=CZ$, demuestre que $BD$ y $OY$ se intersecan en el incentro de $\triangle ABC$.

2 Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ tal que $AB||DE$, $BC||EF$, $CD||FA$. Los puntos $M, N, K$ son los puntos comunes de las rectas $BD$ y $AE$, $AC$ y $DF$, $CE$ y $BF$ respectivamente. Demuestre que las perpendiculares trazadas desde $M, N, K$ a las rectas $AB, CD, EF$ respectivamente son concurrentes.