3 Llamamos a un entero positivo $q$ un $denominador \quad conveniente$ para un número real $\alpha$ si $\displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q}$ para algún entero $p$. Demuestre que si dos números irracionales $\alpha$ y $\beta$ tienen el mismo conjunto de denominadores convenientes, entonces $\alpha+\beta$ o $\alpha- \beta$ es un entero.

6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. Las bisectrices interna y externa del ángulo $\angle BAC$ cortan a $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $M$ el punto en el segmento $AC$ tal que $MC = MB$. La tangente a $\omega$ en $B$ se encuentra con $MD$ en $S$. Los circuncírculos de los triángulos $ADE$ y $BIC$ se cortan en $P$ y $Q$. Si $AS$ corta a $\omega$ en un punto $K$ distinto de $A$, demuestre que $K$ yace sobre $PQ$. Propuesto por Alexandru Lopotenco (Moldavia)

2 Determine todos los enteros positivos $a$, $b$, $c$, $p$, donde $p$ y $p+2$ son números primos impares y \[2^ap^b=(p+2)^c-1.\] awesomeming327.

2003.G7.3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\angle{B}=60^\circ$. El círculo con diámetro $AC$ corta a las bisectrices internas de $A$ y $C$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente $(M\neq{A},$ $N\neq{C})$. La bisectriz interna de $\angle{B}$ corta a $MN$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Demuestre que $BR\leq{RS}$.

2020.G5 publicado como 2021

6 Sea $k$ un entero positivo dado. Encuentre todas las ternas de enteros positivos $a, b, c$ tales que $a + b + c = 3k + 1$ y $ab + bc + ca = 3k^2 + 2k$. Eslovaquia

8 En un triángulo acutángulo $ABC$, con $AB>AC$, sean $D, E, F$ las proyecciones de $A, B, C$ sobre los lados opuestos, respectivamente. La mediatriz de $BF$ corta a $DE$ en $P$, y la mediatriz de $CE$ corta a $DF$ en $Q$. Sea $K$ un punto en la recta $PQ$ tal que $\angle PKE=\angle PKF$, y sea $DK$ una recta que corta al circuncírculo del $\triangle KEF$ en $T \neq K$. Demuestre que $\angle ATE=\angle ATF$.

1 Los enteros positivos $1, 2, ..., 121$ están dispuestos en las casillas de una tabla de $11 \times 11$. Dima calculó el producto de los números en cada fila y Sasha calculó el producto de los números en cada columna. ¿Podrían obtener el mismo conjunto de $11$ números? Propuesto por S. Berlov

4 En un triángulo $ABC$, sean $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ los puntos donde los excírculos tocan los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente. Demuestre que $A A_{1}$, $B B_{1}$ y $C C_{1}$ son las longitudes de los lados de un triángulo. Propuesto por L. Emelyanov

2018.7.10 Todos los lados del pentágono convexo $ABCDE$ son iguales, y $\angle BCD=2\angle ACE$. Encuentre $\angle ACE$.