1993.14 Demuestre que la suma de los cuadrados de las distancias desde un punto $P$ a los vértices de un triángulo $ABC$ es mínima cuando $P$ es el baricentro del triángulo.

2009.G5.3 Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos tales que $B$ es el punto medio del segmento $AC$ y sea $P$ un punto tal que $\angle PBC=60^\circ$. Se construye el triángulo equilátero $PCQ$ de tal manera que $B$ y $Q$ se encuentran en semiplanos diferentes con respecto a $PC$, y se construye el triángulo equilátero $APR$ de tal manera que $B$ y $R$ se encuentran en el mismo semiplano con respecto a $AP$. Sea $X$ el punto de intersección de las rectas $BQ$ y $PC$, y sea $Y$ el punto de intersección de las rectas $BR$ y $AP$. Demuestre que $XY$ y $AC$ son paralelos.

3 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ tales que \[ f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right) \] se cumple para todo $x,y\in\mathbb R^+.$

2 2. Sea ABCD un cuadrilátero convexo. Encuentre la condición necesaria y suficiente para la existencia de un punto P en el interior del cuadrilátero tal que los triángulos ABP, BCP, CDP y DAP tengan la misma área.

6 Sea $k$ un entero positivo dado. Encuentre todas las ternas de enteros positivos $a, b, c$ tales que $a + b + c = 3k + 1$ y $ab + bc + ca = 3k^2 + 2k$. Eslovaquia

3 En un plano se han trazado varias líneas rectas de tal manera que cada una de ellas corta exactamente a otras $15$ líneas. ¿Cuántas líneas se han trazado en el plano? Encuentre todas las posibilidades y justifique su respuesta. Polonia

6 Sea $X$ el conjunto de los enteros del $1$ al $239$. Un mago y su asistente realizan un truco. El mago sale del salón y un espectador escribe una sucesión de $10$ elementos en la pizarra tomados del conjunto $X$. El asistente del mago los observa y añade $k$ elementos más de $X$ a la sucesión existente. Después de esto, el espectador reemplaza tres de estos $k+10$ números por elementos aleatorios de $X$ (está permitido cambiarlos por sí mismos, es decir, no cambiar nada en absoluto, por ejemplo). El mago entra, observa la fila resultante de $k+10$ números y nombra sin error los $10$ números originales escritos por el espectador. Encuentre el $k$ mínimo posible para el cual el truco es posible.

Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ y $AB\neq AC$. Sean $D$ y $E$ puntos en el arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$, tales que $\angle BAE=\angle DAC$. Sean $X$ e $Y$ los incentros de $BAE$ y $CAD$, respectivamente, y sean $Z$ el punto de intersección de las tangentes externas a las circunferencias inscritas de $BAE$ y $CAD$. Demuestre que $Z$ yace sobre la cuerda común de $\Gamma$ y la circunferencia circunscrita de $AXY$.

3 Encuentre el mayor $C \in \mathbb{R}$ tal que \[\frac{x+z}{(x-z)^2} +\frac{x+w}{(x-w)^2} +\frac{y+z}{(y-z)^2}+\frac{y+w}{(y-w)^2} + \sum_{cyc} \frac{1}{x} \ge \frac{C}{x+y+z+w}\] donde $x,y,z,w \in \mathbb{R^+}$ . Autor: Hunter Spink

5 Sean $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ $2n$ enteros positivos tales que los $n+1$ productos \[a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots b_n\] forman una progresión aritmética estrictamente creciente en ese orden. Determine el entero positivo más pequeño que podría ser la diferencia común de dicha progresión aritmética.