4 Llame a un subconjunto de dos elementos de $\mathbb{N}$ "lindo" si contiene exactamente un número primo y un número compuesto. Determine todos los polinomios $f \in \mathbb{Z}[x]$ tales que para todo subconjunto lindo $\{ p,q \}$, el subconjunto $\{ f(p) + q, f(q) + p \}$ sea también lindo. Propuesto por Valentio Iverson (Indonesia)

6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. Las bisectrices interna y externa del ángulo $\angle BAC$ cortan a $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $M$ el punto en el segmento $AC$ tal que $MC = MB$. La tangente a $\omega$ en $B$ se encuentra con $MD$ en $S$. Los circuncírculos de los triángulos $ADE$ y $BIC$ se cortan en $P$ y $Q$. Si $AS$ corta a $\omega$ en un punto $K$ distinto de $A$, demuestre que $K$ yace sobre $PQ$. Propuesto por Alexandru Lopotenco (Moldavia)

3. Un cuadrado de 6×6 ha sido recubierto por 18 dominós. Demuestre que existe una línea que divide al cuadrado en dos partes, cada una de las cuales también está recubierta por dominós.

3 Un polinomio $c_dx^d+c_{d-1}x^{d-1}+\dots+c_1x+c_0$ de grado $d$ es reflexivo si existe un entero $n\ge d$ tal que $c_i=c_{n-i}$ para todo $0\le i\le n$, donde $c_i=0$ para $i>d$. Sea $\ell\ge 2$ un entero y $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Demuestre que existen polinomios reflexivos $q(x)$ y $r(x)$ con coeficientes enteros tales que \[(1+x+x^2+\dots+x^{\ell-1})p(x)=q(x)+x^\ell r(x)\]

2 Determine todos los enteros positivos $a$, $b$, $c$, $p$, donde $p$ y $p+2$ son números primos impares y \[2^ap^b=(p+2)^c-1.\] awesomeming327.

Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ y $AB\neq AC$. Sean $D$ y $E$ puntos en el arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$, tales que $\angle BAE=\angle DAC$. Sean $X$ e $Y$ los incentros de $BAE$ y $CAD$, respectivamente, y sean $Z$ el punto de intersección de las tangentes externas a las circunferencias inscritas de $BAE$ y $CAD$. Demuestre que $Z$ yace sobre la cuerda común de $\Gamma$ y la circunferencia circunscrita de $AXY$.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con una altura $AD$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. El círculo $\Omega$ pasa por los puntos $A$ y $B$, y es tangente a la recta $AC$. Sea $BE$ el diámetro de $\Omega$. Las rectas $BH$ y $AH$ intersecan a $\Omega$ por segunda vez en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $EK$ y $AB$ se intersecan en el punto $T$. Demuestre que $\angle BDK=\angle BLT$.

3 Llamamos a un entero positivo $q$ un $denominador \quad conveniente$ para un número real $\alpha$ si $\displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q}$ para algún entero $p$. Demuestre que si dos números irracionales $\alpha$ y $\beta$ tienen el mismo conjunto de denominadores convenientes, entonces $\alpha+\beta$ o $\alpha- \beta$ es un entero.

3 Sea $a_0,a_1,a_2,\dots$ una sucesión periódica de números reales (es decir, existe un entero positivo fijo $k$ tal que $a_n=a_{n+k}$ para todo entero $n\geq 0$). La siguiente igualdad es verdadera para todo $n\geq 0$: $a_{n+2}=\frac{1}{n+2} (a_n - \frac{n+1}{a_{n+1}})$. Si $a_0=2020$, determine el valor de $a_1$.

1 Diremos que dos conjuntos de números distintos están $\textit{vinculados}$ entre sí si entre cualesquiera dos números de cada conjunto se encuentra al menos un número del otro conjunto. ¿Es posible llenar las celdas de un rectángulo de $100 \times 200$ con números distintos de modo que cualesquiera dos filas del rectángulo estén vinculadas entre sí, y cualesquiera dos columnas del rectángulo estén vinculadas entre sí?