1 Sean $P$ y $Q$ puntos en un círculo $k$. Una cuerda $AC$ de $k$ pasa por el punto medio $M$ de $PQ$. Considere un trapecio $ABCD$ inscrito en $k$ con $AB \parallel PQ \parallel CD$. Demuestre que el punto de intersección $X$ de $AD$ y $BC$ depende solo de $k$ y $P,Q$. Amir

1 ¿Existe una sucesión de $2005$ enteros positivos consecutivos que contenga exactamente $25$ números primos? N.T.TUAN

1 En el triángulo $ABC$, $M$ es el punto medio de $AB$ y $B'$ es el pie de la altura desde $B$. El círculo $CB'M$ interseca a la recta $BC$ por segunda vez en $D$. Los circuncírculos de $CB'M$ y $ABD$ se intersecan nuevamente en $K$. La paralela a $AB$ que pasa por $C$ interseca al círculo $CB'M$ nuevamente en $L$. Demuestre que $KL$ biseca a $CM$.

4 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes ($m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentre todos los valores posibles de $k$. Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

5 Sea un polígono simple de $n$ lados en el plano, con $n>3$ e impar. El interior ha sido perfectamente recubierto con triángulos de tal manera que cada lado de cualquier triángulo coincide exactamente con otro lado de otro triángulo o del polígono. Alice y Bob juegan el siguiente juego sobre esto: Alice comienza primero y se turnan. En su turno, Alice puede colorear cualquier triángulo no coloreado de rojo, mientras que Bob puede colorear cualquier triángulo no coloreado de azul. Por cada lado que se encuentra entre dos triángulos, este es ganado por Alice si ambos triángulos son rojos, y por Bob si ambos son azules. El ganador es aquel que haya ganado estrictamente más lados que el otro. Demuestre que Alice tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Pulkit Sinha

2 Sahand y Gholam juegan en una tabla de $1403\times 1403$. Inicialmente, todas las celdas unitarias son blancas. Para cada fila y columna hay una tecla asociada (en total 2806 teclas). Comenzando con Sahand, los jugadores se turnan para presionar una tecla que no haya sido presionada aún, hasta que todas las teclas hayan sido presionadas. Cuando Sahand presiona una tecla, todas las celdas de esa fila o columna se vuelven negras, independientemente de sus colores previos. Cuando Gholam presiona una tecla, todas las celdas de esa fila o columna se vuelven rojas, independientemente de sus colores previos. Finalmente, la puntuación de Gholam es igual al número de cuadrados rojos menos el número de cuadrados negros, y la puntuación de Sahand es igual al número de cuadrados negros menos el número de cuadrados rojos. Determine la puntuación mínima que Gholam puede garantizar si ambos jugadores juegan de manera óptima.

2 Encuentre todos los polinomios de dos variables $P(x,y)$ que satisfacen \[P(a,b) P(c,d) = P (ac+bd, ad+bc), \forall a,b,c,d \in \mathbb{R}.\]

4 Un cubo de longitud de lado $n$ está dividido por paredes internas en cubos unitarios. ¿Cuál es el número mínimo de paredes entre cubos unitarios que deben eliminarse para que desde cada cubo unitario sea posible llegar al menos a una cara del cubo grande (las caras exteriores del cubo permanecen intactas)?

1 Dos cajas contienen entre ambas 65 bolas de varios tamaños diferentes. Cada bola es blanca, negra, roja o amarilla. Si usted toma cinco bolas cualesquiera del mismo color, al menos dos de ellas siempre serán del mismo tamaño (radio). Demuestre que existen al menos tres bolas que se encuentran en la misma caja, tienen el mismo color y tienen el mismo tamaño (radio).

2 Algunos estudiantes de matemáticas de la India e Irán se encuentran en las casillas de una cuadrícula de $n \times n$ (cada casilla puede contener varios estudiantes o ninguno). Cada estudiante calcula la fracción de estudiantes en su fila cuya nacionalidad coincide con la suya, así como la fracción de estudiantes en su columna cuya nacionalidad coincide con la suya. Cada estudiante anota la suma de los dos números que obtiene de esta manera. Demuestre que el producto de todos estos números es al menos $1$. Propuesto por Navid Safaei