3 Hay siete varillas erigidas en los vértices de un área heptagonal regular. La parte superior de cada varilla está conectada a la parte superior de su segundo vecino mediante un trozo de alambre recto de tal manera que, visto desde arriba, se observa que cada alambre cruza exactamente a otros dos. ¿Es posible establecer las alturas respectivas de las varillas de tal manera que no haya cuatro partes superiores de las varillas que sean coplanares y que cada alambre pase por uno de los cruces por encima y por el otro por debajo? N.T.TUAN

2 Sea $F_{n}$ el $n$-ésimo número de Fibonacci (donde $F_{1}= F_{2}= 1$). Considere las funciones $f_{n}(x)=| . . . ||x|-F_{n}|-F_{n-1}|-...-F_{2}|-F_{1}|$, $g_{n}(x)=| . . . ||x-1|-1|-...-1|$ ($F_{1}+...+F_{n}$ unos). Demuestre que $f_{n}(x) = g_{n}(x)$ para todo número real $x.$ N.T.TUAN

2 Considere todas las sucesiones finitas de números reales positivos cuyos términos son, cada uno, como máximo $3$ y cuya suma es mayor que $100$. Para cada una de estas sucesiones, sea $S$ la suma de la subsecuencia cuya suma es la más cercana a $100$, y defina el defecto de esta sucesión como el valor $|S-100|$. Encuentre el valor máximo posible del defecto.

3 Sea $\mathcal S$ el conjunto de puntos dentro o en el borde de un triángulo $ABC$, sin un punto fijo $T$ dentro del triángulo. Demuestre que $\mathcal S$ puede ser particionado en segmentos cerrados disjuntos. Yugoslavia Valentin

4 Demuestre que la siguiente ecuación no tiene solución en números enteros: \[ x^2 + 4 = y^5. \] Bulgaria Valentin

2 Sea $n\geq 2$ un entero, y sean $0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_{2n+1}$ números reales. Demuestre la desigualdad \[ \sqrt[n]{a_1} - \sqrt[n]{a_2} + \sqrt[n]{a_3} - \cdots + \sqrt[n]{a_{2n+1}} < \sqrt[n]{a_1 - a_2 + a_3 - \cdots + a_{2n+1}}. \] Bogdan Enescu, Rumania Valentin

1 Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ y sea $R$ el circunradio del triángulo $ABC$. Demuestre que \[ \frac{PA}{AB\cdot AC}+\frac{PB}{BC\cdot BA}+\frac{PC}{CA\cdot CB}\ge\frac{1}{R}.\]

2 Sea n un entero positivo. Sean n números reales escritos en un papel. Llamamos "transformación" a: elegir 2 números $a,b$ y reemplazar ambos por $a*b$. Encuentre todos los n para los cuales, después de un número finito de transformaciones y para cualesquiera n números reales, podemos obtener el mismo número escrito n veces en el papel.

2 Considere una sucesión infinita de enteros positivos $a_1, a_2, a_3, \dots$ tal que $a_1 > 1$ y $(2^{a_n} - 1)a_{n+1}$ sea un cuadrado para todo entero positivo $n$. ¿Es posible que dos términos de dicha sucesión sean iguales? Propuesto por Pavel Kozlov, Rusia

6 Sean $k$ y $m$ enteros mayores que $1$. Considere $k$ conjuntos disjuntos dos a dos $S_1, S_2, \cdots, S_k$; cada uno de estos conjuntos tiene exactamente $m+1$ elementos, uno de los cuales es rojo y los otros $m$ son todos azules. Sea $\mathcal{F}$ la familia de todos los subconjuntos $F$ de $S_1 \bigcup S_2 \bigcup \cdots \bigcup S_k$ tales que, para todo $i$, la intersección $F \bigcap S_i$ es monocromática; el conjunto vacío también es monocromático. Determine la mayor cardinalidad de una subfamilia $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$, tal que no existan dos conjuntos disjuntos en ella. Propuesto por Rusia, Andrew Kupavskii y Maksim Turevskii