1 Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ y sea $R$ el circunradio del triángulo $ABC$. Demuestre que \[ \frac{PA}{AB\cdot AC}+\frac{PB}{BC\cdot BA}+\frac{PC}{CA\cdot CB}\ge\frac{1}{R}.\]

2 Sea n un entero positivo. Sean n números reales escritos en un papel. Llamamos "transformación" a: elegir 2 números $a,b$ y reemplazar ambos por $a*b$. Encuentre todos los n para los cuales, después de un número finito de transformaciones y para cualesquiera n números reales, podemos obtener el mismo número escrito n veces en el papel.

2 Considere una sucesión infinita de enteros positivos $a_1, a_2, a_3, \dots$ tal que $a_1 > 1$ y $(2^{a_n} - 1)a_{n+1}$ sea un cuadrado para todo entero positivo $n$. ¿Es posible que dos términos de dicha sucesión sean iguales? Propuesto por Pavel Kozlov, Rusia

6 Sean $k$ y $m$ enteros mayores que $1$. Considere $k$ conjuntos disjuntos dos a dos $S_1, S_2, \cdots, S_k$; cada uno de estos conjuntos tiene exactamente $m+1$ elementos, uno de los cuales es rojo y los otros $m$ son todos azules. Sea $\mathcal{F}$ la familia de todos los subconjuntos $F$ de $S_1 \bigcup S_2 \bigcup \cdots \bigcup S_k$ tales que, para todo $i$, la intersección $F \bigcap S_i$ es monocromática; el conjunto vacío también es monocromático. Determine la mayor cardinalidad de una subfamilia $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$, tal que no existan dos conjuntos disjuntos en ella. Propuesto por Rusia, Andrew Kupavskii y Maksim Turevskii

2 Sea $\Gamma$ un círculo y sea $d$ una recta tal que $\Gamma$ y $d$ no tienen puntos en común. Además, sea $AB$ un diámetro del círculo $\Gamma$; suponga que este diámetro $AB$ es perpendicular a la recta $d$, y que el punto $B$ está más cerca de la recta $d$ que el punto $A$. Sea $C$ un punto arbitrario en el círculo $\Gamma$, distinto de los puntos $A$ y $B$. Sea $D$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $d$. Una de las dos tangentes desde el punto $D$ al círculo $\Gamma$ toca a este círculo $\Gamma$ en un punto $E$; por lo tanto, asumimos que los puntos $B$ y $E$ yacen en el mismo semiplano con respecto a la recta $AC$. Denotamos por $F$ al punto de intersección de las rectas $BE$ y $d$. Sea la recta $AF$ que interseca al círculo $\Gamma$ en un punto $G$, distinto de $A$. Demuestre que la reflexión del punto $G$ respecto a la recta $AB$ yace sobre la recta $CF$.

3 Sea $n \geq 3$ un entero. Determine el entero positivo $k$ más pequeño que satisface la siguiente condición: Para cualquier árbol $T$ con vértices $v_1, v_2, \dots, v_n$ y cualesquiera números complejos distintos entre sí $z_1, z_2, \dots, z_n$, existe un polinomio $P(X, Y)$ con coeficientes complejos de grado total a lo sumo $k$ tal que para todo $i \neq j$ que satisface $1 \leq i, j \leq n$, tenemos $P(z_i, z_j) = 0$ si y solo si existe una arista en $T$ que une $v_i$ con $v_j$. Note, por ejemplo, que el grado total del polinomio $$ 9X^3Y^4 + XY^5 + X^6 - 2 $$ es 7 porque $7 = 3 + 4$. Propuesto por Andrei Chiriță, Rumania

5 Sea un polígono simple de $n$ lados en el plano, con $n>3$ e impar. El interior ha sido perfectamente recubierto con triángulos de tal manera que cada lado de cualquier triángulo coincide exactamente con otro lado de otro triángulo o del polígono. Alice y Bob juegan el siguiente juego sobre esto: Alice comienza primero y se turnan. En su turno, Alice puede colorear cualquier triángulo no coloreado de rojo, mientras que Bob puede colorear cualquier triángulo no coloreado de azul. Por cada lado que se encuentra entre dos triángulos, este es ganado por Alice si ambos triángulos son rojos, y por Bob si ambos son azules. El ganador es aquel que haya ganado estrictamente más lados que el otro. Demuestre que Alice tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Pulkit Sinha

3 Sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo $ABC$, respectivamente. Sea $F$ el pie de la perpendicular desde $C$ hacia $AB$, y $M$ el punto medio de $CH$. Sea $N$ el pie de la perpendicular desde $C$ hacia la paralela por $H$ a $OM$. Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $CA=CD$. Sea $P$ la intersección de $BN$ y $CD$. Sea $Q$ la intersección de $PH$ y $CA$. Demuestre que $QF\perp OF$.

6 Demuestre que la expresión $$ (1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1)\dots(n^4+n^2+1)$$ no es un cuadrado para todo $n \in \mathbb{N}$

4 Sea una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios. Escribimos en cada cuadrado unitario un número real, tal que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier cuadrado de $n \times n$ es menor o igual que $1$. Demuestre que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier rectángulo de $m \times n$ es menor o igual que $4$.