3 Sea $n \geq 3$ un entero. Determine el entero positivo $k$ más pequeño que satisface la siguiente condición: Para cualquier árbol $T$ con vértices $v_1, v_2, \dots, v_n$ y cualesquiera números complejos distintos entre sí $z_1, z_2, \dots, z_n$, existe un polinomio $P(X, Y)$ con coeficientes complejos de grado total a lo sumo $k$ tal que para todo $i \neq j$ que satisface $1 \leq i, j \leq n$, tenemos $P(z_i, z_j) = 0$ si y solo si existe una arista en $T$ que une $v_i$ con $v_j$. Note, por ejemplo, que el grado total del polinomio $$ 9X^3Y^4 + XY^5 + X^6 - 2 $$ es 7 porque $7 = 3 + 4$. Propuesto por Andrei Chiriță, Rumania

1 Sean $P$ y $Q$ puntos en un círculo $k$. Una cuerda $AC$ de $k$ pasa por el punto medio $M$ de $PQ$. Considere un trapecio $ABCD$ inscrito en $k$ con $AB \parallel PQ \parallel CD$. Demuestre que el punto de intersección $X$ de $AD$ y $BC$ depende solo de $k$ y $P,Q$. Amir

3 Una hoja de papel cuadrada $ABCD$ se dobla de tal manera que $B$ cae sobre el punto medio $M$ de $CD$. Demuestre que el pliegue dividirá a $BC$ en la razón $5 : 3$.

2 Encuentre todos los enteros $n$ para los cuales el polinomio $p(x) = x^5 -nx -n -2$ puede representarse como un producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros. Amir

1 Sea $P$ un punto en el interior del $\triangle ABC$. Las longitudes de los lados del $\triangle ABC$ son $a,b,c$, y las distancias desde $P$ a los lados del $\triangle ABC$ son $p,q,r$. Demuestre que el circunradio $R$ del $\triangle ABC$ satisface \[\displaystyle R\le \frac{a^2+b^2+c^2}{18\sqrt[3]{pqr}}.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

3 Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que la representación decimal de $2000^N$ comienza con los dígitos $200120012001.$ Amir

4 Sea una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios. Escribimos en cada cuadrado unitario un número real, tal que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier cuadrado de $n \times n$ es menor o igual que $1$. Demuestre que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier rectángulo de $m \times n$ es menor o igual que $4$.

1 Dos cajas contienen entre ambas 65 bolas de varios tamaños diferentes. Cada bola es blanca, negra, roja o amarilla. Si usted toma cinco bolas cualesquiera del mismo color, al menos dos de ellas siempre serán del mismo tamaño (radio). Demuestre que existen al menos tres bolas que se encuentran en la misma caja, tienen el mismo color y tienen el mismo tamaño (radio).

4 Encuentre el resto cuando $2^{1990}$ se divide por $1990.$

6 Demuestre que la expresión $$ (1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1)\dots(n^4+n^2+1)$$ no es un cuadrado para todo $n \in \mathbb{N}$