2 Encuentre todos los enteros $n$ para los cuales el polinomio $p(x) = x^5 -nx -n -2$ puede representarse como un producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros. Amir

8 En el $\triangle ABC$, el $\angle B$ es obtuso y $AB \ne BC$. Sea $O$ el circuncentro y $\omega$ el circuncírculo de este triángulo. $N$ es el punto medio del arco $ABC$. El circuncírculo del $\triangle BON$ corta a $AC$ en los puntos $X$ e $Y$. Sean $BX \cap \omega = P \ne B$ y $BY \cap \omega = Q \ne B$. Demuestre que $P, Q$ y el reflejo de $N$ con respecto a la recta $AC$ son colineales.

3 Sea $k$ un entero positivo. Demuestre que para todo $n>k$ existen figuras convexas $F_{1},\ldots, F_{n}$ y $F$ tales que no existe un subconjunto de $k$ elementos de $F_{1}, \ldots, F_{n}$ que cubra a $F$, pero $F$ está cubierto por cada subconjunto de $k+1$ elementos de $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}$.

3 Una hoja de papel cuadrada $ABCD$ se dobla de tal manera que $B$ cae sobre el punto medio $M$ de $CD$. Demuestre que el pliegue dividirá a $BC$ en la razón $5 : 3$.

3 Sea el polinomio $P(x)=x^3+19x^2+94x+a$ donde $a\in\mathbb{N}$. Si $p$ es un número primo, demuestre que no más de tres números de los números $P(0), P(1),\ldots, P(p-1)$ son divisibles por $p$.

4 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes ($m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentre todos los valores posibles de $k$. Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

4 Encuentre el resto cuando $2^{1990}$ se divide por $1990.$

4 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros y $S \subset \mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros que son al menos $10^{100}$. Fije un entero positivo $c$. Determine todas las funciones $f: S \rightarrow \mathbb{Z}$ que satisfacen $f(xy+c)=f(x)+f(y)$, para todo $x,y \in S$.

1 Sean $P$ y $Q$ puntos en un círculo $k$. Una cuerda $AC$ de $k$ pasa por el punto medio $M$ de $PQ$. Considere un trapecio $ABCD$ inscrito en $k$ con $AB \parallel PQ \parallel CD$. Demuestre que el punto de intersección $X$ de $AD$ y $BC$ depende solo de $k$ y $P,Q$. Amir

1 El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la recta $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$. El punto $D$ se elige de tal manera que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$. El punto $E$ se elige de tal manera que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $BD, FX$ y $ME$ son concurrentes.