3 Sea $T$ un triángulo no isósceles y $n \ge 4$ un entero. Demuestre que se puede dividir $T$ en $n$ triángulos y trazar en cada uno de ellos una bisectriz interior de tal manera que esas $n$ bisectrices sean paralelas.

2013.10 Sea $ABCD$ un cuadrilátero tangencial tal que $BC > BA$. El punto $P$ se encuentra en el segmento $BC$, tal que $BP = BA$. Demuestre que la bisectriz de $\angle BCD$, la perpendicular a la recta $BC$ que pasa por $P$ y la perpendicular a $BD$ que pasa por $A$, se intersecan en un mismo punto.

1 El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la recta $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$. El punto $D$ se elige de tal manera que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$. El punto $E$ se elige de tal manera que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $BD, FX$ y $ME$ son concurrentes.

4 Una calculadora puede elevar un número al cuadrado o sumarle $1$. No puede sumar $1$ dos veces seguidas. Mediante varias operaciones, transformó un número $x$ en un número $S > x^n + 1$ ($x, n, S$ son enteros positivos). Demuestre que $S > x^n + x - 1$.

2019.7 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB = 2 \angle ABC$. Suponga que existe un punto $D$ en el interior del triángulo $ABC$ tal que $AD = BD$ y $CD = AC$. Demuestre que $\angle ACB = 3 \angle DCB$.

5 En el triángulo $ABC$ suponga que $5\angle BAC = 3\angle ABC$. Sean $BC = a$, $AB = c$ y $AC = b$. Demuestre que $$(b^2 - a^2)^2 b^2 c^2 = a b c^2\bigl(a^2 c^2 - (b^2 - a^2)^2\bigr) +\bigl(a^2 c^2 - (b^2 - a^2)^2\bigr)^2. $$

4 Un conjunto de enteros positivos se denomina fragante si contiene al menos dos elementos y cada uno de sus elementos tiene un factor primo en común con al menos uno de los otros elementos. Sea $P(n)=n^2+n+1$. ¿Cuál es el menor valor entero positivo posible de $b$ tal que existe un entero no negativo $a$ para el cual el conjunto $$\{P(a+1),P(a+2),\ldots,P(a+b)\}$$ es fragante?

3 El plano de una galería de arte es una figura cuadriculada donde cada cuadrado es una habitación, y se puede llegar de cualquier habitación a otra moviéndose a habitaciones adyacentes. Un vigilante en una habitación puede observar todas las habitaciones a las que se puede llegar desde esta habitación mediante un movimiento de una reina de ajedrez (sin salir de la galería). ¿Cuál es el número mínimo de vigilantes que es suficiente para observar todas las habitaciones en cualquier galería de $n$ habitaciones ($n > 2$)?

3 Se dan cuatro puntos en el plano, no todos situados sobre una misma línea recta. ¿Es posible que, para cada elección de tres de estos puntos que forman un triángulo, la mediana, la bisectriz y la altura trazadas desde tres vértices diferentes del triángulo se corten todas en un único punto?

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$, sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$. Tome un punto $E$ en el segmento $BC$ tal que $CE=BD$. Sea $P$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto al vértice $A$. Demuestre que $PE$ es perpendicular a $BC$.