3 Se dan cuatro puntos en el plano, no todos situados sobre una misma línea recta. ¿Es posible que, para cada elección de tres de estos puntos que forman un triángulo, la mediana, la bisectriz y la altura trazadas desde tres vértices diferentes del triángulo se corten todas en un único punto?

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo círculo inscrito es tangente a $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ACB$ y $\angle ABC$ con la recta $DE$ y sea $Z$ el punto medio de $BC$. Demuestre que el triángulo $XYZ$ es equilátero si y solo si $\angle A = 60^\circ$.

1 El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la recta $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$. El punto $D$ se elige de tal manera que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$. El punto $E$ se elige de tal manera que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $BD, FX$ y $ME$ son concurrentes.

2013.10 Sea $ABCD$ un cuadrilátero tangencial tal que $BC > BA$. El punto $P$ se encuentra en el segmento $BC$, tal que $BP = BA$. Demuestre que la bisectriz de $\angle BCD$, la perpendicular a la recta $BC$ que pasa por $P$ y la perpendicular a $BD$ que pasa por $A$, se intersecan en un mismo punto.

4 Considere la sucesión $(a_n)_{n\ge 1}$ definida por $a_n=n$ para $n\in \{1,2,3,4,5,6\}$, y para $n \ge 7$: $$a_n={\lfloor}\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{2}{\rfloor}$$ donde ${\lfloor}x{\rfloor}$ es el mayor entero menor o igual a $x$. Por ejemplo: ${\lfloor}2.4{\rfloor} = 2, {\lfloor}3{\rfloor} = 3$ y ${\lfloor}\pi {\rfloor}= 3$. Para todo entero $n \ge 2$, sea $S_n = \{a_1,a_2,...,a_n\} - \{r_n\}$ donde $r_n$ es el resto cuando $a_1 + a_2 + ... + a_n$ se divide por $3$. El signo menos $-$ denota la notación de "eliminarlo si está presente". Por ejemplo: $S_4 = \{2,3,4\}$ porque $r_4= 1$, por lo que $1$ se elimina de $\{1,2,3,4\}$. Sin embargo, $S_5 = \{1,2,3,4,5\}$ porque $r_5 = 0$ y $0$ no está en el conjunto $\{1,2,3,4,5\}$. 1. Determine $S_7, S_8, S_9$ y $S_{10}$. 2. Decimos que un conjunto $S_n$ para $n\ge 6$ está bien equilibrado si puede particionarse en tres subconjuntos disjuntos dos a dos con igual suma. Por ejemplo: $S_6 = \{1,2,3,4,5,6\} = \{1,6\}\cup \{2,5\}\cup \{3,4\}$ y $1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4$. Demuestre que $S_7, S_8, S_9$ y $S_{10}$ están bien equilibrados. 3. ¿Está el conjunto $S_{2019}$ bien equilibrado? Justifique su respuesta.

2 Danielle tiene un tablero de $m \times n$ y desea llenarlo con piezas compuestas por dos o más cuadrados conectados diagonalmente como se muestra, sin solapamientos ni espacios vacíos: a) Encuentre todos los valores de $(m,n)$ para los cuales es posible llenar el tablero. b) Si es posible llenar un tablero de $m \times n$, encuentre el número mínimo de piezas que Danielle puede usar para llenarlo. Nota: Las piezas pueden rotarse.

2011.8 Sea $ABCD$ un paralelogramo y $H$ el ortocentro del $\triangle{ABC}$. La recta paralela a $AB$ que pasa por $H$ corta a $BC$ en $P$ y a $AD$ en $Q$, mientras que la recta paralela a $BC$ que pasa por $H$ corta a $AB$ en $R$ y a $CD$ en $S$. Demuestre que $P$, $Q$, $R$ y $S$ son concíclicos. (Olimpiada Matemática Suiza 2011, Ronda final, problema 8) Martin N.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$, sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$. Tome un punto $E$ en el segmento $BC$ tal que $CE=BD$. Sea $P$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto al vértice $A$. Demuestre que $PE$ es perpendicular a $BC$.

$6n$ personas juegan ajedrez en una ronda. Encuentre el número mínimo de rondas en las cuales el número de victorias y los puntos obtenidos por los jugadores están en orden inverso (una ronda es una ronda en la que cada jugador juega exactamente una vez con todos los demás, y el ganador obtiene $1$ punto, el perdedor obtiene $0$ puntos y el jugador que empata obtiene $0.5$ puntos).

2 Se da un trapecio $ABCD$ con $BC // AD$. Los puntos $B'$ y $C'$ son simétricos a $B$ y $C$ con respecto a $CD$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que el punto medio del segmento que une los circuncentros de $ABC'$ y $B'CD$ es equidistante de $A$ y $D$.