2009.7 Los puntos $A, M_1, M_2$ y $C$ están sobre una recta en este orden. Sea $k_1$ el círculo con centro $M_1$ que pasa por $A$ y $k_2$ el círculo con centro $M_2$ que pasa por $C$. Los dos círculos se intersecan en los puntos $E$ y $F$. Una tangente común a $k_1$ y $k_2$ toca a $k_1$ en $B$ y a $k_2$ en $D$. Demuestre que las rectas $AB, CD$ y $EF$ se intersecan en un mismo punto.

2010.9 Sean $ k$ y $ k'$ dos círculos concéntricos centrados en $ O$ , con $ k'$ siendo más grande que $ k$ . Una recta que pasa por $ O$ corta a $ k$ en $ A$ y a $ k'$ en $ B$ tal que $ O$ separa a $ A$ y $ B$ . Otra recta que pasa por $ O$ corta a $ k$ en $ E$ y a $ k'$ en $ F$ tal que $ E$ separa a $ O$ y $ F$ . Demuestre que el circuncírculo del $ \triangle{OAE}$ y los círculos con diámetros $ AB$ y $ EF$ tienen un punto en común. Martin N.

4 Pablo escribió $5$ números en una hoja y luego escribió los números $6,7,8,8,9,9,10,10,11$ y $12$ en otra hoja que le dio a Sofía, indicando que esos números son las posibles sumas de dos de los números que él había ocultado. Decida si con esta información Sofía puede determinar los cinco números que Pablo escribió.

2 Encuentre todos los primos $p$ tales que $p^2-p+1$ sea un cubo perfecto.

4 Sea $n \geq 2$ un entero. Sea $S$ un subconjunto de $\{1,2,\dots,n\}$ tal que $S$ no contiene dos elementos donde uno divide al otro, ni contiene dos elementos que sean coprimos. ¿Cuál es el número máximo posible de elementos de tal conjunto $S$?

3 Sea $P=A_1A_2\cdots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tienen coordenadas enteras y yacen sobre un círculo. Sea $S$ el área de $P$. Se da un entero positivo impar $n$ tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son enteros divisibles por $n$. Demuestre que $2S$ es un entero divisible por $n$.

3 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre la desigualdad \[\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^2}{a+b+c}.\] ¿Cuándo ocurre la igualdad?

6 En cada casilla de un tablero de $100 \times 100$ hay escrito un número entero. La operación permitida consiste en elegir cuatro casillas que formen la figura o cualquiera de sus reflexiones o rotaciones, y sumar $1$ a cada uno de los cuatro números. El objetivo es, mediante las operaciones permitidas, lograr un tablero con el menor número posible de residuos distintos módulo $33$. ¿Cuál es el número mínimo que se puede lograr con certeza?

1 Para cualesquiera números reales $a_1,a_2,\ldots,a_n$, ¿puede existir un número real $x$ tal que los números $a_1+x, a_2+x,\ldots, a_n+x$ sean todos irracionales?

5 Sean $a \ge 2$ y $n \ge 3$ enteros. Demuestre que uno de los números $a^n+ 1 , a^{n + 1}+ 1 , ... , a^{2 n-2}+ 1$ no comparte ningún divisor impar mayor que $1$ con ninguno de los otros números.