4 Pablo escribió $5$ números en una hoja y luego escribió los números $6,7,8,8,9,9,10,10,11$ y $12$ en otra hoja que le dio a Sofía, indicando que esos números son las posibles sumas de dos de los números que él había ocultado. Decida si con esta información Sofía puede determinar los cinco números que Pablo escribió.

3 Considere el conjunto $S = \{1,2,3, ...,1441\}$. 1. Nora cuenta aquellos subconjuntos de $S$ que tienen exactamente dos elementos, cuya suma es par. Rania cuenta aquellos subconjuntos de $S$ que tienen exactamente dos elementos, cuya suma es impar. Determine los números contados por Nora y Rania. 2. Sea $t$ el número de subconjuntos de $S$ que tienen al menos dos elementos y cuyo producto de elementos es par. Determine la mayor potencia de $2$ que divide a $t$. 3. Ahmad cuenta los subconjuntos de $S$ que tienen $77$ elementos tales que en cada subconjunto la suma de los elementos es par. Bushra cuenta los subconjuntos de $S$ que tienen $77$ elementos tales que en cada subconjunto la suma de los elementos es impar. ¿Cuál número es mayor? Determine la diferencia entre los números encontrados por Ahmad y Bushra.

3 Sea $M$ un conjunto no vacío de enteros positivos y sea $S_M$ la suma de todos los elementos de $M$. Definimos el tlacoyo de $M$ como la suma de los dígitos de $S_M$. Por ejemplo, si $M=\{2,7,34\}$, entonces $S_M=2+7+34=43$ y el tlacoyo del conjunto $M$ es $4+3=7$. Demuestre que para todo entero positivo $n$, existe un conjunto $M$ de $n$ enteros positivos distintos, tal que todos sus subconjuntos no vacíos tienen el mismo tlacoyo.

5 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $f(f(x+y) - f(x)) + f(x)f(y) = f(x^2) - f(x+y),$ para todo número real $x, y$.

2004.9 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, tal que $|AB| + |CD| = |BC|$. Demuestre que la intersección de las bisectrices de $\angle DAB$ y $\angle CDA$ se encuentra sobre el lado $BC$.

6 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados opuestos a los vértices $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sea $R$ su circunradio y $r$ su inradio. Suponga que $b + c = 2a$ y $R = 3r$. El excírculo relativo al vértice $A$ interseca al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $P$ y $Q$. Sea $U$ el punto medio del lado $BC$, y sea $I$ el incentro de $ABC$. Demuestre que $U$ es el baricentro del triángulo $QIP$.

2005.8 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. $M$ y $N$ son dos puntos cualesquiera sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Los círculos con diámetros $BN$ y $CM$ se intersecan en los puntos $P$ y $Q$. Demuestre que los puntos $P, Q$ y el ortocentro del triángulo $ABC$ se encuentran sobre una misma línea recta.

2006.7 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $\angle ABC = 60^o$ y $| BC | = | CD |$. Demuestre que $|CD| + |DA| = |AB|$.

2010.9 Sean $ k$ y $ k'$ dos círculos concéntricos centrados en $ O$ , con $ k'$ siendo más grande que $ k$ . Una recta que pasa por $ O$ corta a $ k$ en $ A$ y a $ k'$ en $ B$ tal que $ O$ separa a $ A$ y $ B$ . Otra recta que pasa por $ O$ corta a $ k$ en $ E$ y a $ k'$ en $ F$ tal que $ E$ separa a $ O$ y $ F$ . Demuestre que el circuncírculo del $ \triangle{OAE}$ y los círculos con diámetros $ AB$ y $ EF$ tienen un punto en común. Martin N.

2009.7 Los puntos $A, M_1, M_2$ y $C$ están sobre una recta en este orden. Sea $k_1$ el círculo con centro $M_1$ que pasa por $A$ y $k_2$ el círculo con centro $M_2$ que pasa por $C$. Los dos círculos se intersecan en los puntos $E$ y $F$. Una tangente común a $k_1$ y $k_2$ toca a $k_1$ en $B$ y a $k_2$ en $D$. Demuestre que las rectas $AB, CD$ y $EF$ se intersecan en un mismo punto.