2021.8 Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $AB = AC$ y $\angle BAC = 20^{\circ}$. Sea $D$ un punto en el lado $AB$ tal que $\angle BCD = 70^{\circ}$. Sea $E$ un punto en el lado $AC$ tal que $\angle CBE = 60^{\circ}$. Determine el valor del ángulo $\angle CDE$.

5 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $f(f(x+y) - f(x)) + f(x)f(y) = f(x^2) - f(x+y),$ para todo número real $x, y$.

2022.8 Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en el interior del lado $BC$. Sean $I_1$ e $I_2$ los incentros de los triángulos $AP B$ y $AP C$, respectivamente. Sea $X$ el punto más cercano a $A$ sobre la recta $AP$ tal que $XI_1$ es perpendicular a $XI_2$. Demuestre que la distancia $AX$ es independiente de la elección de $P$.

2018.6 Sea $k$ el incírculo del triángulo $ABC$ con centro en el incentro $I$. El círculo $k$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$. Sea $G$ la intersección de la recta $AI$ y el círculo $k$, la cual se encuentra entre $A$ e $I$. Suponga que $BE$ y $FG$ son paralelos. Demuestre que $BD = EF$.

2020.7 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases $AD> BC$. Sea $X$ la intersección de las bisectrices de $\angle BAC$ y $BC$. Sea $E$ la intersección de $DB$ con la paralela a la bisectriz de $\angle CBD$ que pasa por $X$, y sea $F$ la intersección de $DC$ con la paralela a la bisectriz de $\angle DCB$ que pasa por $X$. Demuestre que el cuadrilátero $AEFD$ es cíclico.

4 Pablo escribió $5$ números en una hoja y luego escribió los números $6,7,8,8,9,9,10,10,11$ y $12$ en otra hoja que le dio a Sofía, indicando que esos números son las posibles sumas de dos de los números que él había ocultado. Decida si con esta información Sofía puede determinar los cinco números que Pablo escribió.

2014.10 Sea $k$ un círculo con diámetro $AB$. Sea $C$ un punto en la recta $AB$, tal que $B$ se encuentra entre $A$ y $C$. Sea $T$ un punto en $k$ tal que $CT$ es tangente a $k$. Sea $l$ la paralela a $CT$ que pasa por $A$ y $D$ la intersección de $l$ con la perpendicular a $AB$ que pasa por $T$. Demuestre que la recta $DB$ biseca al segmento $CT$.

2015.8 Sea $ABCD$ un trapecio, donde $AB$ y $CD$ son paralelos. Sea $P$ un punto en el lado $BC$. Demuestre que las paralelas a $AP$ y $PD$ que pasan por $C$ y $B$ respectivamente, se cortan en $DA$.

2004.9 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, tal que $|AB| + |CD| = |BC|$. Demuestre que la intersección de las bisectrices de $\angle DAB$ y $\angle CDA$ se encuentra sobre el lado $BC$.

2012.10 Sea $O$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ las proyecciones de $O$ sobre los lados $BC, AC$ y $AB$ respectivamente. Sea $P$ la intersección de las perpendiculares a $B_1C_1$ y $A_1C_1$ trazadas desde los puntos $A$ y $B$ respectivamente. Sea $H$ la proyección de $P$ sobre $AB$. Demuestre que los puntos $A_1, B_1, C_1$ y $H$ yacen sobre un círculo.