2022.8 Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en el interior del lado $BC$. Sean $I_1$ e $I_2$ los incentros de los triángulos $AP B$ y $AP C$, respectivamente. Sea $X$ el punto más cercano a $A$ sobre la recta $AP$ tal que $XI_1$ es perpendicular a $XI_2$. Demuestre que la distancia $AX$ es independiente de la elección de $P$.

4 Dada una función $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ que satisface las condiciones \[f(n)=\left\{\begin{array}{ll} f(n-1)-n, & f(n-1)>n\\ f(n-1)+n, & f(n-1)\leqslant n \end{array}\right.\] y $f(1)=1$, encuentre los elementos máximo y mínimo del conjunto $S=\{n\in\mathbb N\mid f(n)=1998\}$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con vértice $A$ y $AB > BC$. Sea $k$ el círculo con centro $A$ que pasa por $B$ y $C$. Sea $H$ la segunda intersección de $k$ con la altura del triángulo $ABC$ que pasa por $B$. Además, sea $G$ la segunda intersección de $k$ con la mediana que pasa por $B$ en el triángulo $ABC$. Sea $X$ la intersección de las rectas $AC$ y $GH$. Demuestre que $C$ es el punto medio de $AX$.

2018.6 Sea $k$ el incírculo del triángulo $ABC$ con centro en el incentro $I$. El círculo $k$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$. Sea $G$ la intersección de la recta $AI$ y el círculo $k$, la cual se encuentra entre $A$ e $I$. Suponga que $BE$ y $FG$ son paralelos. Demuestre que $BD = EF$.

2020.7 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases $AD> BC$. Sea $X$ la intersección de las bisectrices de $\angle BAC$ y $BC$. Sea $E$ la intersección de $DB$ con la paralela a la bisectriz de $\angle CBD$ que pasa por $X$, y sea $F$ la intersección de $DC$ con la paralela a la bisectriz de $\angle DCB$ que pasa por $X$. Demuestre que el cuadrilátero $AEFD$ es cíclico.

2014.10 Sea $k$ un círculo con diámetro $AB$. Sea $C$ un punto en la recta $AB$, tal que $B$ se encuentra entre $A$ y $C$. Sea $T$ un punto en $k$ tal que $CT$ es tangente a $k$. Sea $l$ la paralela a $CT$ que pasa por $A$ y $D$ la intersección de $l$ con la perpendicular a $AB$ que pasa por $T$. Demuestre que la recta $DB$ biseca al segmento $CT$.

2015.8 Sea $ABCD$ un trapecio, donde $AB$ y $CD$ son paralelos. Sea $P$ un punto en el lado $BC$. Demuestre que las paralelas a $AP$ y $PD$ que pasan por $C$ y $B$ respectivamente, se cortan en $DA$.

2004.9 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, tal que $|AB| + |CD| = |BC|$. Demuestre que la intersección de las bisectrices de $\angle DAB$ y $\angle CDA$ se encuentra sobre el lado $BC$.

2012.10 Sea $O$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$. Sean $A_1, B_1$ y $C_1$ las proyecciones de $O$ sobre los lados $BC, AC$ y $AB$ respectivamente. Sea $P$ la intersección de las perpendiculares a $B_1C_1$ y $A_1C_1$ trazadas desde los puntos $A$ y $B$ respectivamente. Sea $H$ la proyección de $P$ sobre $AB$. Demuestre que los puntos $A_1, B_1, C_1$ y $H$ yacen sobre un círculo.

54 Considere las sucesiones $(a_n), (b_n)$ definidas por \[a_1=3, \quad b_1=100 , \quad a_{n+1}=3^{a_n} , \quad b_{n+1}=100^{b_n} \] Encuentre el entero $m$ más pequeño para el cual $b_m > a_{100}.$ Amir