16 Sea $Q$ un cuadrado con longitud de lado $6$. Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que en $Q$ existe un conjunto $S$ de $n$ puntos con la propiedad de que cualquier cuadrado de lado $1$ completamente contenido en $Q$ contiene en su interior al menos un punto de $S$. Amir

52 Sea $\lambda > 1$ un número real dado y $(n_k)$ una sucesión de enteros positivos tal que $\frac{n_{k+1}}{n_k}> \lambda$ para $k = 1, 2,\ldots$ Demuestre que existe un entero positivo $c$ tal que ningún entero positivo $n$ puede representarse de más de $c$ formas en la forma $n = n_k + n_j$ o $n = n_r - n_s$.

48 En el plano se da un círculo $C$ de radio unitario. Para cualquier recta $l$, se define un número $s(l)$ de la siguiente manera: Si $l$ y $C$ se intersecan en dos puntos, $s(l)$ es su distancia; de lo contrario, $s(l) = 0$. Sea $P$ un punto a una distancia $r$ del centro de $C$. Se define $M(r)$ como el valor máximo de la suma $s(m) + s(n)$, donde $m$ y $n$ son rectas variables mutuamente ortogonales que pasan por $P$. Determine los valores de $r$ para los cuales $M(r) > 2$.

39 Una expedición en el desierto acampa en el borde del mismo y debe proveer un litro de agua potable a otro miembro de la expedición, que reside a una distancia de $n$ días de caminata del campamento, bajo las siguientes condiciones: $(i)$ Cada miembro de la expedición puede cargar como máximo $3$ litros de agua. $(ii)$ Cada miembro debe beber un litro de agua por cada día que pase en el desierto. $(iii)$ Todos los miembros deben regresar al campamento. ¿Cuánta agua necesitan (como mínimo) para lograrlo?

62 Sea $T$ un triángulo dado con vértices $P_1,P_2,P_3$. Considere una subdivisión arbitraria de $T$ en un número finito de subtriángulos tal que ningún vértice de un subtriángulo se encuentre estrictamente entre dos vértices de otro subtriángulo. A cada vértice $V$ de los subtriángulos se le asigna un número $n(V)$ de acuerdo con las siguientes reglas: $(\text{i})$ Si $V = P_i$, entonces $n(V) = i$. $(\text{ii})$ Si $V$ se encuentra en el lado $P_i P_j$ de $T$, entonces $n(V) = i$ o $j$. $(\text{iii})$ Si $V$ se encuentra dentro del triángulo $T$, entonces $n(V)$ es cualquiera de los números $1,2,3$. Demuestre que existe al menos un subtriángulo cuyos vértices están numerados $1, 2, 3$.

41 Demuestre la siguiente afirmación: No existe una pirámide con base cuadrada y caras laterales congruentes para la cual las medidas de todas las aristas, el área total y el volumen sean enteros.

63 Sea $\{a_i\}$ una sucesión de $n$ números reales positivos que denotan las longitudes de los lados de un $n$-ágono arbitrario. Sea $s=\sum_{i=1}^{n}{a_i}$. Demuestre que $2\ge \sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{s-a_i}}\ge \frac{n}{n-1}$.

17 Encuentre los valores reales de $p$ para los cuales la ecuación \[\sqrt{2p+ 1 - x^2} +\sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x+ 3p + 9}\] en $x$ tiene exactamente dos raíces reales distintas. ($\sqrt t$ significa la raíz cuadrada positiva de $t$). Amir

79 Sea $S$ un círculo unitario y $K$ un subconjunto de $S$ que consiste en varios arcos cerrados. Sea $K$ un conjunto que satisface las siguientes propiedades: $(\text{i})$ $K$ contiene tres puntos $A,B,C$, que son los vértices de un triángulo acutángulo; $(\text{ii})$ Para todo punto $A$ que pertenece a $K$, su punto diametralmente opuesto $A'$ y todos los puntos $B$ en un arco de longitud $\frac{1}{9}$ con centro en $A'$ no pertenecen a $K$. Demuestre que existen tres puntos $E,F,G$ en $S$ que son vértices de un triángulo equilátero y que no pertenecen a $K$.

68 Consideramos un punto $P$ en un plano $p$ y un punto $Q \not\in p$. Determine todos los puntos $R$ del plano $p$ para los cuales \[ \frac{QP+PR}{QR} \] es máximo.