26 Sea $n$ un entero positivo. Si $4^n + 2^n + 1$ es un número primo, demuestre que $n$ es una potencia de tres. Amir

69 Sea $N$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$, y sea $M$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3 + 1\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$. Demuestre que $N > M$. Amir

16 Sea $Q$ un cuadrado con longitud de lado $6$. Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que en $Q$ existe un conjunto $S$ de $n$ puntos con la propiedad de que cualquier cuadrado de lado $1$ completamente contenido en $Q$ contiene en su interior al menos un punto de $S$. Amir

23 Considere el conjunto $E$ que consiste en pares de enteros $(a, b)$, con $a \geq 1$ y $b \geq 1$, que satisfacen en el sistema decimal las siguientes propiedades: (i) $b$ se escribe con tres dígitos, como $\overline{\alpha_2\alpha_1\alpha_0}$, $\alpha_2 \neq 0$; (ii) $a$ se escribe como $\overline{\beta_p \ldots \beta_1\beta_0}$ para algún $p$; (iii) $(a + b)^2$ se escribe como $\overline{\beta_p\ldots \beta_1 \beta_0 \alpha_2 \alpha_1 \alpha_0}$. Encuentre los elementos de $E$. Amir

63 Sea $\{a_i\}$ una sucesión de $n$ números reales positivos que denotan las longitudes de los lados de un $n$-ágono arbitrario. Sea $s=\sum_{i=1}^{n}{a_i}$. Demuestre que $2\ge \sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{s-a_i}}\ge \frac{n}{n-1}$.

48 En el plano se da un círculo $C$ de radio unitario. Para cualquier recta $l$, se define un número $s(l)$ de la siguiente manera: Si $l$ y $C$ se intersecan en dos puntos, $s(l)$ es su distancia; de lo contrario, $s(l) = 0$. Sea $P$ un punto a una distancia $r$ del centro de $C$. Se define $M(r)$ como el valor máximo de la suma $s(m) + s(n)$, donde $m$ y $n$ son rectas variables mutuamente ortogonales que pasan por $P$. Determine los valores de $r$ para los cuales $M(r) > 2$.

41 Demuestre la siguiente afirmación: No existe una pirámide con base cuadrada y caras laterales congruentes para la cual las medidas de todas las aristas, el área total y el volumen sean enteros.

62 Sea $T$ un triángulo dado con vértices $P_1,P_2,P_3$. Considere una subdivisión arbitraria de $T$ en un número finito de subtriángulos tal que ningún vértice de un subtriángulo se encuentre estrictamente entre dos vértices de otro subtriángulo. A cada vértice $V$ de los subtriángulos se le asigna un número $n(V)$ de acuerdo con las siguientes reglas: $(\text{i})$ Si $V = P_i$, entonces $n(V) = i$. $(\text{ii})$ Si $V$ se encuentra en el lado $P_i P_j$ de $T$, entonces $n(V) = i$ o $j$. $(\text{iii})$ Si $V$ se encuentra dentro del triángulo $T$, entonces $n(V)$ es cualquiera de los números $1,2,3$. Demuestre que existe al menos un subtriángulo cuyos vértices están numerados $1, 2, 3$.

10 Encuentre todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes reales para los cuales \[f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x).\] Amir

73 En un plano se da un número finito de círculos iguales. Estos círculos son mutuamente disjuntos (pueden ser tangentes externamente). Demuestre que se pueden usar como máximo cuatro colores para colorear estos círculos de modo que dos círculos tangentes entre sí sean de colores diferentes. ¿Cuál es el número más pequeño de círculos que requiere cuatro colores?