4 Dado un entero positivo $n \geq 2$. Cindy llena cada celda de una cuadrícula de $n \times n$ con un entero positivo no mayor que $n$, de tal manera que los números en cada fila estén en orden no decreciente (de izquierda a derecha) y los números en cada columna también estén en orden no decreciente (de arriba hacia abajo). Llamamos a dos celdas adyacentes un $domino$ si están llenas con el mismo número. Cindy desea que el número de $dominos$ sea lo más pequeño posible. Encuentre el número más pequeño de $dominos$ que Cindy puede obtener. (Aquí, dos celdas se llaman adyacentes si comparten un lado común).

1 Dos cajas contienen entre ambas 65 bolas de varios tamaños diferentes. Cada bola es blanca, negra, roja o amarilla. Si usted toma cinco bolas cualesquiera del mismo color, al menos dos de ellas siempre serán del mismo tamaño (radio). Demuestre que existen al menos tres bolas que se encuentran en la misma caja, tienen el mismo color y tienen el mismo tamaño (radio).

4 Sea una cuadrícula infinita de cuadrados unitarios. Escribimos en cada cuadrado unitario un número real, tal que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier cuadrado de $n \times n$ es menor o igual que $1$. Demuestre que el valor absoluto de la suma de los números de cualquier rectángulo de $m \times n$ es menor o igual que $4$.

3 Sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo $ABC$, respectivamente. Sea $F$ el pie de la perpendicular desde $C$ hacia $AB$, y $M$ el punto medio de $CH$. Sea $N$ el pie de la perpendicular desde $C$ hacia la paralela por $H$ a $OM$. Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $CA=CD$. Sea $P$ la intersección de $BN$ y $CD$. Sea $Q$ la intersección de $PH$ y $CA$. Demuestre que $QF\perp OF$.

2 Sea n un entero positivo. Sean n números reales escritos en un papel. Llamamos "transformación" a: elegir 2 números $a,b$ y reemplazar ambos por $a*b$. Encuentre todos los n para los cuales, después de un número finito de transformaciones y para cualesquiera n números reales, podemos obtener el mismo número escrito n veces en el papel.

1 Sea $P$ un punto en el interior del $\triangle ABC$. Las longitudes de los lados del $\triangle ABC$ son $a,b,c$, y las distancias desde $P$ a los lados del $\triangle ABC$ son $p,q,r$. Demuestre que el circunradio $R$ del $\triangle ABC$ satisface \[\displaystyle R\le \frac{a^2+b^2+c^2}{18\sqrt[3]{pqr}}.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

3 Sea $n \geq 3$ un entero. Determine el entero positivo $k$ más pequeño que satisface la siguiente condición: Para cualquier árbol $T$ con vértices $v_1, v_2, \dots, v_n$ y cualesquiera números complejos distintos entre sí $z_1, z_2, \dots, z_n$, existe un polinomio $P(X, Y)$ con coeficientes complejos de grado total a lo sumo $k$ tal que para todo $i \neq j$ que satisface $1 \leq i, j \leq n$, tenemos $P(z_i, z_j) = 0$ si y solo si existe una arista en $T$ que une $v_i$ con $v_j$. Note, por ejemplo, que el grado total del polinomio $$ 9X^3Y^4 + XY^5 + X^6 - 2 $$ es 7 porque $7 = 3 + 4$. Propuesto por Andrei Chiriță, Rumania

4 Sea $S$ el conjunto de puntos en el interior de un triángulo equilátero dado $ABC$ de lado $1$ o en su frontera. Para cualquier $M \in S$, $a_M, b_M, c_M$ denotan las distancias de $M$ a $BC, CA, AB$, respectivamente. Defina \[f(M) = a_M^3 (b_M - c_M) + b_M^3(c_M - a_M) + c_M^3(a_M - b_M).\] (a) Describa geométricamente el conjunto $\{M \in S | f(M) \geq 0\}$. (b) Encuentre los valores mínimo y máximo de $f(M)$, así como los puntos en los cuales se alcanzan. Amir

3 Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que la representación decimal de $2000^N$ comienza con los dígitos $200120012001.$ Amir

3 Sea $k$ un entero positivo. Demuestre que para todo $n>k$ existen figuras convexas $F_{1},\ldots, F_{n}$ y $F$ tales que no existe un subconjunto de $k$ elementos de $F_{1}, \ldots, F_{n}$ que cubra a $F$, pero $F$ está cubierto por cada subconjunto de $k+1$ elementos de $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}$.