1 Indra tiene una bolsa para llevar flores a su abuela. El primer día ella lleva $n$ flores. A partir del segundo día, Indra intenta llevar el triple más uno con respecto al número de flores del día anterior. Sin embargo, si este número es mayor o igual a $40$, Indra resta múltiplos de $40$ hasta que el resto sea menor que este número, ya que su bolsa no puede contener tantas flores. ¿Para qué valor de $n$ Indra llevará $30$ flores el día $2016$?

1 Suponga que los números positivos $x$ e $y$ satisfacen $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$. Demuestre que $x^{3}+y^{3}\leq 2$. N.T.TUAN

5 Demuestre que existen infinitos enteros $a$ tales que $(a,b)=1$, siendo $n$ y $b$ números naturales dados, y $\dfrac{a^n-b^n}{a-b}$ no es múltiplo de ningún entero mayor que 1.

2 Si $a_1$, $a_2$ y $a_3$ son números reales no negativos para los cuales $a_1+a_2+a_3=1$, entonces demuestre la desigualdad $a_1\sqrt{a_2}+a_2\sqrt{a_3}+a_3\sqrt{a_1}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

2 Sean $b,n > 1$ enteros. Suponga que para cada $k > 1$ existe un entero $a_k$ tal que $b - a^n_k$ es divisible por $k$. Demuestre que $b = A^n$ para algún entero $A$. Autor: Dan Brown, Canadá

Un cuadrado de $ (n - 1) \times (n - 1)$ se divide en $ (n - 1)^2$ cuadrados unitarios de la manera habitual. Cada uno de los $ n^2$ vértices de estos cuadrados debe ser coloreado de rojo o azul. Encuentre el número de coloraciones diferentes tales que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de coloración se consideran diferentes si al menos un vértice está coloreado de manera distinta en los dos esquemas).

3 $AB,AC$ son tangentes a $\Omega$ en $B$ y $C$, respectivamente. $D,E,F$ yacen sobre los segmentos $BC,CA,AB$ tales que $AF<AE$ y $\angle FDB= \angle EDC$. El circuncírculo del $\triangle FEC$ interseca a $\Omega$ en $G$ y $C$. Demuestre que $\angle AEF= \angle BGD$.

4 Llamamos L-dominós a una figura en forma de L compuesta por $4$ cuadrados unitarios (como se muestra en la imagen). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/b/2/064b7c7de496f981cd937cbb7392efc1066420.png Determine el número máximo de L-dominós que se pueden colocar en un tablero de dimensiones $n \times n$, donde $n$ es un número natural, de tal manera que no haya dos dominós que se superpongan y sea posible llegar desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha del tablero moviéndose solo a través de aquellos cuadrados que no están cubiertos por los dominós. (Al movernos, pasamos de un cuadrado a uno vecino, es decir, al cuadrado con el que comparte un lado). Nota: Los L-dominós pueden rotarse así como voltearse, obteniendo una figura simétrica respecto a un eje en comparación con la que se muestra en la imagen.

4 Dado un entero positivo $n \geq 2$. Cindy llena cada celda de una cuadrícula de $n \times n$ con un entero positivo no mayor que $n$, de tal manera que los números en cada fila estén en orden no decreciente (de izquierda a derecha) y los números en cada columna también estén en orden no decreciente (de arriba hacia abajo). Llamamos a dos celdas adyacentes un $domino$ si están llenas con el mismo número. Cindy desea que el número de $dominos$ sea lo más pequeño posible. Encuentre el número más pequeño de $dominos$ que Cindy puede obtener. (Aquí, dos celdas se llaman adyacentes si comparten un lado común).

3 Se construye un círculo $\omega$ con centro $O$ y radio $r$. Se elige un punto $P$ en la circunferencia $\omega$ y se toma un punto $A$ en su interior, tal que $A$ no se encuentra en la recta que pasa por $P$ y $O$. Se construye el punto $B$, el reflejo de $A$ con respecto a $O$, y $P'$ es otro punto en la circunferencia tal que la cuerda $PP'$ es perpendicular a $PA$. Sea $Q$ el punto en la recta $PP'$ que minimiza la suma de las distancias de $A$ a $Q$ y de $Q$ a $B$. Demuestre que el valor de la suma de las longitudes $AQ+QB$ no depende de la elección de los puntos $P$ o $A$.